第19讲 第五章一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷（综合卷）
学习目标
第19讲 第五章一元函数的导数及其应用 章节验收测评卷（综合卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023下·新疆和田·高二校考期中）设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，则.
故选：C
2．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）若函数的导函数为，则下列4个描述中，其中不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】因为，
所以，项正确，D项错误.
故选：D
3．（2023上·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
4．（2023上·江苏镇江·高二校考阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由于，则，
得，由于在上为“凸函数”，
所以 在上恒成立，即在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
于是，故.
故选: C
5．（2023上·辽宁抚顺·高三校考开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为，
所以时，，时，，
由，可得或，所以.
故选：D.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得
，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立．
设，则在上恒成立，
利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，
可得或，
解得，所以实数a的取值范围为
故选：B．
7．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
8．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则，可知时，时，
故在上单调递减，在上单调递增，可知，
所以，时等号成立，所以，故；
又，当时等号成立，则，故.
综上，.
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023下·广东清远·高二统考期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）
A．有个极值点
B．是的极大值点
C．是的极大值点
D．在上单调递增
【答案】ABD
【详解】根据函数的图象可知，
在区间，单调递增；
在区间，单调递减.
所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，
是的极小值点，
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
10．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）函数满足，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】令，则，从而递减，
则，即，，，.
故选：AC.
11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】BCD
【详解】由题意得，故为偶函数，
而，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
若，则，得，
即，解得
故选：BCD
12．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（ ）
A．2B．C．3D．0
【答案】ABC
【详解】当时，，当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
所以当时，的最小值为.又在上，的图像如图所示：
因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解，即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，
故或或.
若，则；若，则；
若，则.
故选：ABC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则 .
【答案】
【详解】代入得，，
即，，即，则，，
所以.
故答案为：.
14．（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）己知函数的导函数为，且满足，则 ．
【答案】
【详解】因，
故，
令得，解得，
所以，故，
当时得
故答案为：
15．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
【答案】2
【详解】，，
令，解得：或，
在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
故答案为：.
16．（2023下·北京大兴·高二统考期末）已知函数，且在处的瞬时变化率为．
① ；
②令，若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
由在处的瞬时变化率为得，所以；
因为
①当时，函数的图象如下图所示：
要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；
②当时，函数的图象如下图所示：
要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，
不妨令，当，恒成立，所以单调递增，
即，所以恒成立，故此时不等式解得；
③当时，函数的图象如下图所示：
要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；
④当时，函数的图象如下图所示：
要使得函数的图象与直线有且只有一个公共点，则，所以；
对于函数，，当，恒成立，所以单调递减，
即，所以恒成立，故此时不等式组无解；
综上，实数的取值范围是.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·山东德州·高三统考期中）记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）
因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．
所以，，
所以函数在上的值域为．
18．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，.
（2）由题意知：，
设直线与相切于点，
则，消去得：，解得：，
则，解得：.
19．（2023上·江苏常州·高三统考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
20．（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
(2)
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，单调递增.
当时，令可得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）当，即，时，设，
则，，.
当时，，所以，在上单调递增，
，故，满足题意；
当时，，，则存在，使得，当时，，单调递减，又，所以不恒成立，不符合题意.
综上，
21．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；
(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，，
所以，.
（2）当时，函数，求导得，
当时，，即函数在上单调递减，
不妨设，则，，
不等式恒成立，即恒成立，
则恒成立，设，
于是，恒成立
则在上单调递增，于是在上恒成立，
即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，
所以m的取值范围为．
22．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若，求函数的最小值；
(3)若有两个零点，，证明：.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（2）由题意知函数的定义域为.
，
则，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
（3）不妨设，则由（2）知，.
设，由，得，
即，
因为函数在R上单调递增，所以成立.
构造函数，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即.