第18讲 第五章 一元函数的导数及其应用 重点题型章末总结

第18讲 第五章 一元函数的导数及其应用 重点题型章末总结

1．（2023上·高二课时练习）求下列函数的导数，其中：

(1)； (2)．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）

.

（2）

.

2．（2023上·高二课时练习）判断下列求导结果是否正确．如果不正确，请指出错在哪里，并予以改正．

(1)； (2)

【答案】(1)错误，错误位置及改正见解析；

(2)错误，错误位置及改正见解析.

【详解】（1）错误，将导数错写为，正解如下：

；

（2）错误，没有乘以内函数的导数，正解如下：

.

3．（2023上·山西临汾·高三校考阶段练习）求下列函数的导数：

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

【答案】(1) (2)

(3) (4) (5) (6)

【详解】（1）因为，

所以

.

（2）因为，

所以

.

（3）因为，

所以

.

（4）因为，

所以.

（5）因为，

所以.

（6）因为，

所以.

1．（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知直线与曲线相切，则（    ）

A．B．C．1D．2

【答案】A

【详解】设切点为，则，

故，

由可得：代入可得：

，则，解得：，．

故选：A.

2．（2023上·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ．

【答案】

【详解】由题意得，，设切点为，

则切线方程为，

因为切线过原点，

所以，

解得，所以．

故答案为：

3．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）

【答案】

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以在处的切线方程为，整理得，

故答案为：.

4．（2023·全国·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 .

【答案】

【详解】由，得，

设切点坐标为，由导数的几何意义得，

又易知，点既在直线上又在曲线上，所以，

联立和，消得到，

令，则恒成立，

即函数在区间上单调递增，又，所以，得到，

故答案为：.

1．（2023·全国·高三专题练习）已知，若过原点有一条直线与的图象相切，则的取值范围为 ．

【答案】

【详解】设切点为

函数，则切线斜率

则切线方程为，将原点代入化简得

令

或，则在单调递减，，单调递增，故函数的极小值为，极大值为

又．

又过原点有一条直线与的图象相切，则或．故的取值范围是．

故答案为：.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在曲线上存在点，使得过点可以作三条直线与曲线相切，则点横坐标的取值范围为 ．

【答案】

【详解】由题意得：，设点坐标为，设切点为，

所以：，即：，所以即得关于的此方程式存在三个不同实根，

令：，则：，

当时，，在上单调递增，不符合题意；

当，时，，在区间上单调递增，

时，，在区间上单调递减，

时，，在区间上单调递增，

故得：，即，解得：，

当时，时，，在区间上单调递增，

时，，在区间上单调递减，

时，，在区间上单调递增，

故得：，即，解得：，

综上：的取值范围是．

故答案为：.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若过点恰好有两条直线与曲线相切，则的值为 ．

【答案】2

【详解】解：∵，∴，

设切点为，则该点处的切线方程为，

又∵切线过点，∴，

整理得，，（*）

依题设，方程（*）恰有两个不同的解，

令，则，

解得，，

①当时，恒成立，单调递增，至多只有一个零点，不合题设；

②当时，则，为的极值点，若恰有两个不同的解，

则或，又∵，

，∴或.

令，则，

解得，∴在上单调递增，在上单调递减，

又∵， ∴当且时，无解. ∴.

故答案为：2.

1．（2023上·重庆·高一重庆巴蜀中学校考期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】令, 则，

当时，单调递增，且，

当时，，当时单调递增，

则函数在上单调递增，符合题意；

当时，的对称轴为，

由题意，

当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，

在上单调递减，不符合题意，

综上，.

故选：A.

2．（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】由题意得函数的定义域为，，

要使函数恰有三个单调区间，

则有两个不相等的实数根，∴，解得且，

故实数a的取值范围为，

故选：C.

3．（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】，

令，

因为在上不单调，

在上有变号零点，即在上有变号零点，

当 时， ，不成立；

当 时，只需 ，即 ，

解得 或 ，

所以 在上不单调的充要条件是或 ，

所以在上不单调的一个充分不必要条件是，

故选：B

4．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】解：因为，

所以，

令，解得或，

所以在，内单调递增，在内单调递减，

所以极小值为．

令，则，

所以，

由题意得，

所以a的取值范围为.

故选:C．

5．（2023下·福建福州·高二校联考期中）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ．

【答案】

【详解】，则，

函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，

即在区间上有解，

又，则，

所以在区间上有解，

所以，，令，，

则，

令，则在区间恒成立，

所以在上单调递减，所以，

即，所以，所以实数的取值范围是．

故答案为：．

6．（2023上·天津·高三校考阶段练习）若函数在内单调递减，则实数的取值范围是

【答案】

【详解】，

∵在内单调递减，

∴在内恒成立，即在内恒成立，

即在内恒成立，

∵在单调递增，∴，

∴，∴﹒

故答案为：

1．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

【答案】(1)答案见解析

【详解】（1）函数的定义域为，且.

当时，在上恒成立，故在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

2．（2023上·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知．

(1)讨论函数的单调性；

【答案】(1)答案见解析

【详解】（1）．

当时，，则在上单调递增；

当时，令，可得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

3．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线；

(2)讨论的单调性；

【答案】(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）时，函数，则，切点坐标为，

，则曲线在点处的切线斜率为，

所求切线方程为，即.

（2），函数定义域为R，

①，解得或，解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

②，解得或，解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

③，恒成立，在上单调递增.

4．（2023上·福建·高三校联考期中）已知函数，.

(1)讨论的单调性；

【答案】(1)答案见解析；

【详解】（1）由题得，其中，

令，，其中对称轴为， ．

①若，则，此时，则，所以在上单调递增；

②若，则，

此时在上有两个根，，且，

当时，，则，单调递增；

当时，，则，单调递减；

当时，，则，单调递增，

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，求在上的最小值；

【答案】(1)极大值为，没有极小值.

(2)0

【详解】（1）当时，，定义域：，，

令，则，变化时，，的变化情况如下表：

则的极大值为：，没有极小值；

（2）当时，，定义域：，

，

令，定义域：，，

则在上是增函数，则，所以，

即在上是增函数，则.

（3），定义域：，

，

令，定义域：，，

（1）当时，，则在上是减函数，则，

当时，，则在上是减函数，，不合题意；

当时，，，则存在，使，即，

变化时，，的变化情况如下表：

则，只需，即；

（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；

2．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知函数．

(1)若，求在区间上的最小值和最大值；

(2)若，求证：在处取得极小值．

【答案】(1)最小值为，最大值为；

(2)证明见解析.

【详解】（1）由题设，则，

在上，即递增，

所以最小值为，最大值为.

（2）由题意，则，

令，则，且.

所以，即在处有递增趋势，

综上，若且无限趋向于0，

在上，递减，

在上，递增，

所以在处取得极小值．

3．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.

(1)求a，b的值；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)，

(2)最大值为，最小值为0

【详解】（1）由得，

依题可得：，所以.

又，所以，

所以，.

（2）由（1）知，则，

令，解得或2，令，解得，

令，解得或.

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

又，，，，

故在区间上的最大值为，

最小值为.

1．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.

(1)求的极值：

【答案】(1)极小值为，无极大值

【详解】（1）函数的定义域为，

令，解得，

当时，则，

当时，则，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以当时，有极小值，无极大值.

2．（2019上·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．

(1)求的极值；

【答案】(1)极大值为，极小值为

【详解】（1）解：函数的定义域为，，

令，可得或，列表如下：

故函数的极大值为，极小值为.

3．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数，，.

(1)求的值；

(2)求在区间上的最大值；

【答案】(1)

(2)时，，

时，

时， ，

【详解】（1）由得，所以，

（2）由得，

当时，，故在区间上单调递增，所以，

当时，令，则，令，则，

故在上单调递减，在上单调递增，

当时，，此时在区间上单调递减，所以，

当时，，此时在区间上单调递增，所以，

当时，，此时在区间上单调递增，在单调递减，

综上可得：时，，

时，

时， ，

4．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)求在上的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）函数的定义域为，

则．

当时，在上恒成立，

故此时在上单调递减；

当时，由，得,由，得，

故此时在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，

所以在上单调递减，所以；

当时，

(i)若，即时，在上单调递增，

此时，；

(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时，；

(iii)若，即时，在上单调递减，

此时，．

综上所述，．

1．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数在处取到极小值．

(1)求的值；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

则，

即，

当时，，时，，

时，，故在处取到极小值，

所以满足题意.

（2）由（1）知，，

则，

故切线方程为：，

即.

2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)若存在极小值点，且，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1），

当时，，

由得或，

所以函数的单调递增区间为和．

（2）．

当时，令，得，

则当时，，当时，，

所以函数仅有唯一的极小值点，

此时，显然符合题意．

当时，令，得或，

若，即，则，

此时单调递增，无极值点，不符合题意；

若，即，

则当时，，

当时，，

所以函数的极小值点，

由得，所以；

若，即，

则当时，，

当时，，

所以函数的极小值点，

由得．

综上所述，的取值范围为．

3．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若的极小值为，求的值．

【答案】(1)答案见解析

(2)4

【详解】（1）因为的定义域为，所以，

当时，，则在上递增，

当时：

若时，解之得：或，

所以得：在区间，上单调递增，

若时，解之得：，

所以得：在区间上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减.

（2）由（1）知，当时在上单调递增，故不存在极值，

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值，

所以，解之得，故的值为4.

1．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数且，

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有最大值，求实数的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）由题意，分以下两种情形来讨论函数的单调区间，

情形一：当时，，

所以的单调递减区间为，没有单调递增区间.

情形二：当时，令，

解得，

当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述：当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意若函数有最大值，

则由（1）可知当且仅当时，有最大值，

因此，

不妨令，求导得，

令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

故只能，解得符合题意；

综上所述，满足题意的实数的值为.

2．（2023上·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数，

(1)当时，求在的最小值；

(2)求的单调减区间．

(3)若有最小值，请直接写出的取值范围．

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)

【详解】（1）由题设，

当，令，故，

则，即时.

（2）由，

又定义域为，令，

当时，在上，上，

此时的递减区间为，递增区间为；

当时，在上，

此时的递减区间为，无递增区间；

当时，在上，上，

此时的递减区间为，递增区间为；

（3）当时，在上，且，

由（2），在上递减，上递增，故为极小值，

此时，有最小值；

当时，在上递减且，上递增且，

此时，没有最小值；

当时，在上递减且，且，

由（2），在上递减，上递增，故为极大值，

此时，没有最小值；

综上，时有最小值.

3．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数．

(1)讨论的单调性；

(2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）因为，

所以．

①当时，，在上严格递增；

②当时，由得或，由得，

所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；

③当时，由得或，由得，

所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；

（2）由（1）可知①当时，，

在上严格递增，此时在上的最大值为；

②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；

在上的最大值只有可能是或，

因为在上的最大值为，

所以，

解得，此时；

③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；

在上的最大值可能是或，

因为在上的最大值为，

所以，

解得，此时，

由①②③得，，

∴满足条件的a的取值范围是．

题型10利用导数求解不等式恒成立与有解问题

1．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数，．

(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若在上恒成立，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）当时，，则，

于是，，

则函数在点处的切线方程为

，即；

（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，

设，，则，

令，，则在上恒成立，

因此在上单调递减，于是，

因此在上恒成立，在上单调递减，

则，由此可知，，于是实数的最大值为．

2．（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知函数.

(1)若，求函数的单调递减区间；

(2)若，求函数在区间上的最大值；

(3)若在区间上恒成立，求的范围.

【答案】(1)

(2)当时，最大值为；当时，最大值为．

(3)

【详解】（1）当时，，则，

令．因为 ，则，

所以函数的单调递减区间是

（2）．

令，由，解得，（舍去）．

当，即时，在区间上，函数在上是减函数．所以函数在区间上的最大值为；

当，即时，在上变化时，的变化情况如下表

所以函数在区间上的最大值为．

综上所述：

当时，函数在区间上的最大值为；

当时，函数在区间上的最大值为．

（3）当时，则在上恒成立

∴函数在上是减函数，则

∴成立

当时，由（2）可知：

①当时，在区间上恒成立，则成立；

②当时，由于在区间上是增函数，

所以 ，即在区间上存在使得，不成立

综上所述：的取值范围为.

3．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)若在上有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），，

所以在处的切线方程为：，即.

（2）因为在上有解，所以在上有解，

当时，在上有解，

令，则，

令，则，

当时，，单调递增，故，

则当时，，即．

所以，当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，所以，

综上可知，实数的取值范围是．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)讨论在上的零点个数；

(2)当时，若存在，使得，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2

【详解】（1）由可得，，，

即，，

令，易知．

∴在上恒成立，故在上单调递增．

又，∴当时，．

故当时，在上无零点；当时，在上存在一个零点．

（2）由得，

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

若存在，使得成立，

只需成立，即不等式成立．

令，，则，

显然在上恒成立，

故在上单调递增，又，

∴，

故实数a的取值范围为．

题型11利用导数研究函数的零点（方程的根）

1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数．

(1)若为奇函数，求实数的值；

(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）解：因为为奇函数，

所以可知的定义域为，且，

即，

即，

所以，解得.

（2）证明：①当时，，

所以函数不可能有两个零点，此时不合题意；

②当时，令，解得：或，

又因，

则要使得f（x）仅有两个零点，则，

即，此方程无解，此时不合题意；

③当时，即，

令，解得或，符合题意，所以.

令，则，

令，解得：或，令解得：，

故在，上递增，在上递减，

又，

故函数仅有一个零点．

2．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数，函数，

(1)已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；

(2)若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），则，则，，

故切线方程为：，

与曲线相切，联立得到，即，

，解得.

（2），即，则，

设，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

，，画出函数图象：

根据图象知：.

3．（2023上·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)若，求在上的值域；

(2)若函数恰有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）因为，所以，则在上为减函数，

因为，所以在上的值域为

（2）由得：，则，

则，所以

因为，所以，整理得有两个根.

令，则.

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

当趋向时趋向于，当时.

故的取值范围是.

4．（2023上·重庆·高三校联考开学考试）已知函数.

(1)求的极值；

(2)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【详解】（1）的定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为，无极大值.

（2）当时，恒成立，，

由（1）可得图象如下图所示，

只有一个实数解等价于与有且仅有一个交点，

由图象可知：当或时，与有且仅有一个交点，

实数的取值范围为.

题型12形如，，的问题对比

1．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数（其中且）是奇函数．

(1)求，的值并判断函数的单调性；

(2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，，函数在上单调递增

(2)

【详解】（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，

即，解得，

所以，

又，

于是对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，解得，

所以，

又，

因在上单调递增，且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

于是函数在上单调递增．

（2）由（1）知当时，函数的值域为

又根据条件得且，

所以在时单调减，时单调增；

当时，，则函数的值域为，

因为对，都，使得成立，

所以，所以，解得，

因此实数的取值范围为．

2．（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知函数，，．

(1)求的最大值；

(2)若对，总存在使得成立，求的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【详解】（1）由已知可得，定义域为，.

当时，有，所以在上单调递增；

当时，有，所以在上单调递减.

所以，在处取得唯一极大值，也是最大值.

（2）设在上的最大值为，

根据已知可得出，，而，

当时，有在上恒成立，

此时有恒成立，满足题意；

当时，解可得，.

所以当时，；当时，；

则在上单调递减，在上单调递增，

若，即，此时，在上单调递增，

所以，，满足题意；

若，即，

此时在上单调递减，在上单调递增，

因为恒成立，故只需即可，

则，解得，所以；

若，即，此时在上单调递减，

所以，不满足题意.

综上所述，.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)当时，证明：；

(2)设，当时，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）当时，，则，

∴当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴故．

（2）依题意得在上的最小值不小于在上的最小值，

即．

当时，，

∴，

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴当时， ．

又，对称轴为，开口向上，

当时，在单调递增，故，则，

解得，这与矛盾；

当时，易得，则，∴，这与矛盾；

当时，在单调递减，故，则，解得．

综上，实数的取值范围是．

4．（2023上·山东枣庄·高三统考期中）已知函数，．

(1)若的最大值是0，求的值；

(2)若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）的定义域，．

若，，在定义域内单调递增，无最大值；

若，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以当时，取得最大值，所以．

（2）对于定义域内任意恒成立，即在恒成立．

设，则．设，则，

所以在其定义域内单调递增，且，，所以有唯一零点，且，

所以．构造函数，则

又函数在是增函数，故．所以由在上单调递减，在上单调递增，所以

于是的取值范围是．