第17讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题

第17讲 拓展四：构造函数法解决不等式问题

1、两个基本还原

① ②

2、类型一：构造可导积函数

① 高频考点1：

②

高频考点1： 高频考点2

③ 高频考点1：

④

高频考点1： 高频考点2

⑤

⑥

3、类型二：构造可商函数

① 高频考点1：

②

高频考点1： 高频考点2：

③

⑥

1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】由当时，，

得，

设，则，

所以在上单调递增，

又函数为偶函数，

所以为偶函数，

所以在在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，所以，A选项错误；

，即，所以，B选项错误；

，即，所以，C选项错误；

，即，所以，D选项正确；

故选：D.

2．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】构造函数，则由题意可知当时，

所以函数在区间上单调递减，

又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，

所以在区间上单调递增，

又，，，

因为，，所以，

所以，即，正确.

故选：.

3．（多选）（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）定义在上的函数满足，则（    ）

A．

B．若，则为的极值点

C．若，则为的极值点

D．若，则在上单调递增

【答案】ABD

【详解】令且，则，

所以在上递增，则，A对；

由题设且，

令，则，

当时，即递减；当时，即递增；

所以，

若，则，

所以上，递减；上，递增；

故为的极值点，B对；

若，则，即，故在上递增，故不是的极值点，C错；

若，则，即，故在上单调递增，D对.

故选：ABD

4．（多选）（2023上·辽宁鞍山·高三校联考阶段练习）若函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】BD

【详解】令，则，

因为，即，

所以，在上单调递减，

所以，，，即，，，故BD正确，AC错.

故选：BD.

5．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．

【答案】

【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，

由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，

不等式，

因此，解得，所以原不等式的解集是.

故答案为：

6．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .

【答案】

【详解】记，则，

故当，，所以，因此在上单调递增，

又当时，，

因此为奇函数，故在上单调递增，

又，因此当和时，，

当和时，，

因此，即可得和，

故成立的的取值范围是，

故答案为：

1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】B

【详解】记，则，

因为，即，

所以，所以在R上单调递增，

故，，

整理得，.

故选：B

2．（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】令，

则，即，

故函数是定义在上的奇函数，

当,时，，则，

故在,上单调递增，在,上单调递增，

所以在上单调递增，

又，则，

则不等式，即，

故，解得．

故选：C．

3．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】D

【详解】设，则，由已知得，

所以是上的减函数，

∴，即，

即，，

故选：D．

4．（多选）（2023上·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）

A．B．

C．D．

【答案】AD

【详解】因为，所以

令，则，

因为，，所以，所以在R上单调递减，

，即，即，故A正确，B错；

，即，即，故C错，D正确.

故选：AD.

5．（多选）（2023下·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数满足，且，则（    ）

A．不可能是偶函数B．若，则

C．D．若，则

【答案】BCD

【详解】令，则，故在上单增.

对于A，如为常函数，此时为偶函数，A错误;

对于B，若，则从而，B正确；

对于C，由可得，C正确；

对于D，若，同B选项可知，令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以（当且仅当时等号成立），

故，则，D正确.

故选：BCD.

6．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为 .

【答案】

【详解】设，则，

，

，

在R上单调递增.

又，则.

∵等价于，即，

∴，即所求不等式的解集为.

故答案为：.

1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】B

【详解】令，则，

当时恒有，所以，

则在上单调递增，

所以，则，即，选项A错误；

，则，即，选项B正确；

，则，又为奇函数，所以，选项C错误；

由得，选项D错误；

故选：B

2．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】B

【详解】由，得，

因为，所以

所以，

所以，

令，，则，

所以在上单调递增，

对于A，因为，所以，

所以，，

所以，所以A错误，

对于C，因为，所以，

所以，，

所以，

因为为奇函数，所以，

所以， 所以C错误

对于BD，因为，所以，

所以，，

所以，

因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误，

所以D错误，

故选：B

1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，

所以，

易知当时，，所以函数在上单调递减．

因为，则，

由，则，

且，

因为函数在上单调递减，且，

所以，即，

故选：C．

2．（2023下·陕西西安·高二统考期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】A

【【详解】令，，则，

故在上单调递增，

而，故，故是偶函数，

故，

即，

故A正确，BCD错误，

故选：A．

3．（2022上·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】设，则，则在上单调递增，

对于A，，化简得，故A错误；

对于B，，化简得，故B错误；

对于C，，化简得，故C正确；

对于D，，化简得，故D错误.

故选：C.

4．（多选）（2021下·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数，，是其导函数，恒有，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】AD

【详解】因为，所以，又，

所以，

构造函数，，则，

所以在上为增函数，

因为，所以，即，即，故A正确；

因为，所以，即，故，故B错误；

因为，所以，即，故，故C错误；

因为，所以，即，故，故D正确.

故选：AD

1．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】D

【详解】令，则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

因为，

所以，即.

故选：D.

2．（2023下·山东青岛·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】依题意可得，，，

设，则，当时，，单调递减，

又，所以，即，即.

故选：D.

3．（2023下·四川乐山·高二期末）已知，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】构建，则当时恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以，即；

构建，则当时恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以，即；

综上所述：.

故选：C.

4．（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，，，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】因为，，，

则，

设，，

设，

则，

当时，，所以在上单调递减，

，所以，即在上单调递增，

因为，所以，即，

又，即，

所以.

故选：C.

5．（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知，，，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】因为，则，且，

则，则；

构造函数，，则，

令，则，令，则，

所以当，单调递增，当，单调递减，

则时，有极大值，即最大值，

所以，即时，，

且，，则，所以；

即.

故选：B

6．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）设，，，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】A

【详解】由，，要比较大小，只需比较大小，

故只需比较大小，令且，故，

所以在上递增，而，即，

所以，故，

又，则（等号不能成立），

所以.

故选：A

7．（多选）（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（    ）

A．，B．，

C．D．

【答案】BD

【详解】首先证明切线不等式，

设，则，令，解得，

又因为为单调递增函数，所以有唯一零点，

且当，，此时单调递减，当，，此时单调递增，

故，则，即，

则，，而，所以B正确，A错误；

又因为当时，单调递增，，则，

因此，故D正确，C错误.

故选：BD.