第16讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）

第16讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）

1、函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．

（2）三个等价关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．

2、函数零点的判定

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)在上有两个零点

【详解】（1）因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时，取最大值；

当时，取最小值.

（2）先讨论在上的零点个数，

由（1）可知，在上递减，，

所以在上递减，因为，

所以在上有唯一零点，

又因为，

所以是偶函数，所以在上有两个零点.

2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的零点的个数.

【答案】答案见解析

【详解】由得， 设，

则，

令，得，此时单调递增，

令，得，此时单调递减，

即当时，g(x)取得极大值即，

由，单调递增，可得与x轴只有一个交点，

由，单调递减，可得与x轴没有交点，

画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点；

当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点.

综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点；

当0<m<时，有2个零点；

当m>时，没有零点.

3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2.

（1）求的值及的极小值；

（2）讨论方程的实数解的个数.

【答案】（1），极小值为；（2）答案见解析．

【详解】解：（1），

因为在处切线的斜率为-2，所以，则.

，令，解得或，

当x变化时，，变化情况如下：

故的极小值为.

（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.

当或时，方程有1个实数解；

当或时，方程有2个实数解

当时，方程有3个实数解.

4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．

(1)当时，求在上的单调性；

(2)若，令，讨论方程的解的个数．

【答案】(1)在上递增

(2)答案见解析

【详解】（1）因为

所以当时，，

所以，

则当时，，，可得，

所以在上递增．

（2）因为，，

所以，，

令，解得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．

当时，有极小值．

令，解得．令，可得，

当时，；当时，．

所以，的图像经过特殊点，，．

当时，，从而；

当时，，，从而．

根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示．

方程的解的个数为函数的图像与直线的交点个数．

所以，关于方程的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；

当或时，解为1个；

当时，解为2个．

5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数．

(1)若为奇函数，求实数的值；

(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）解：因为为奇函数，

所以可知的定义域为，且，

即，

即，

所以，解得.

（2）证明：①当时，，

所以函数不可能有两个零点，此时不合题意；

②当时，令，解得：或，

又因，

则要使得f（x）仅有两个零点，则，

即，此方程无解，此时不合题意；

③当时，即，

令，解得或，符合题意，所以.

令，则，

令，解得：或，令解得：，

故在，上递增，在上递减，

又，

故函数仅有一个零点．

1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，求在上的最小值；

(3)若在上存在零点，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，没有极小值.

(2)0

(3)

【详解】（1）当时，，定义域：，，

令，则，变化时，，的变化情况如下表：

则的极大值为：，没有极小值；

（2）当时，，定义域：，

，

令，定义域：，，

则在上是增函数，则，所以，

即在上是增函数，则.

（3），定义域：，

，

令，定义域：，，

（1）当时，，则在上是减函数，则，

当时，，则在上是减函数，，不合题意；

当时，，，则存在，使，即，

变化时，，的变化情况如下表：

则，只需，即；

（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；

（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，

则在上是增函数，，不合题意，

综上所述，的取值范围是.

2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数（）.

(1)求在上的最大值；

(2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

（2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案.

【详解】（1），

可知时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，

由，，，，

则.

（2）由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，

所以，，

因为有三个零点，所以，即，

解得，故的取值范围为.

3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若在上存2个零点，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）函数的定义域为，且.

当时，在上恒成立，故在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）若，在上无零点，不合题意；

若，由，得，

令，则直线与函数在上的图象有两个交点，

，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以，

又，

所以要使直线与的图象有两个交点，则，

所以，即实数的取值范围为.

4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.

(1)若函数在上单调递增，求的最小值；

(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），，

因函数在上单调递增，

所以在恒成立，即，，

的最小值为．

（2）与有且只有一个交点，

即只有一个根，

只有一个根，

令，所以的图象与的图象只有一个交点，

，令，解得或，

令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：

，

又的图象与的图象只有一个交点，

.

5．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若.

(1)当时，求的单调区间；

(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.

【答案】(1)的增区间为，减区间为,

(2)

【详解】（1），

当时，，

，

令，得，即，

令，得，即，

所以的增区间为，减区间为,．

（2），

所以，

两边取对数可得，

所以，

设，

所以，

令得，

所以在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以，

又因为，且时，，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，

即曲线与直线有两个交点的充分必要条件为，

所以，

所以的取值范围为．

6．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，故，

故，

故函数在处的切线方程为，即

（2）由于是的极值点，故，

此时，当或时，，即在上单调递增，

当时，，在上单调递减

即为函数的极大值点，是函数的极小值点，故，

故，

故方程有3个不同的实数解，即的图象由3个不同交点，

而，，

结合的图象，当时，可取负无穷小，

当时，可取正无穷大，

可得到.

1．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.

(1)若函数在上单调递增，求的最小值；

(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），，

因函数在上单调递增，

所以在恒成立，即，，

的最小值为．

（2）与有且只有一个交点，

即只有一个根，

只有一个根，

令，所以的图象与的图象只有一个交点，

，令，解得或，

令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：

，

又的图象与的图象只有一个交点，

.

2．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．

(1)当时，求在上的单调性；

(2)若，令，讨论方程的解的个数．

【答案】(1)在上递增

(2)答案见解析

【详解】（1）因为

所以当时，，

所以，

则当时，，，可得，

所以在上递增．

（2）因为，，

所以，，

令，解得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．

当时，有极小值．

令，解得．令，可得，

当时，；当时，．

所以，的图像经过特殊点，，．

当时，，从而；

当时，，，从而．

根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示．

方程的解的个数为函数的图像与直线的交点个数．

所以，关于方程的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；

当或时，解为1个；

当时，解为2个．

3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程有三个根，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)．

【详解】（1）解：由题意得函数的定义域为，

，

当时，，即在上单调递增；

当时，由，得或，由，得，

在上单调递减，在和上单调递增；

当时，由得或，由得，

在上单调递减，在和上单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

（2）方程有三个根，即有三个根，

有三个根，显然不是方程的根，

则有三个根，即与函数的图象有三个交点，

，令，可得，

由，可得或，由，可得，

则在和上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值为，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

如图所示：

要使与函数的图象有三个交点，

只需，的取值范围是．

4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.

(1)求的极值：

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【详解】（1）函数的定义域为，

令，解得，

当时，则，

当时，则，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以当时，有极小值，无极大值.

（2）因为函数有两个零点，

所以直线与函数有两个交点，

，令，解得，

当时，则，

当时，则，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

因为，，

当时，，当时，

当时，，当时，，，

所以函数的大致图象如图所示，

结合图象可知，当时，有两个零点，

故a的取值范围为.

5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数，函数，

(1)已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；

(2)若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），则，则，，

故切线方程为：，

与曲线相切，联立得到，即，

，解得.

（2），即，则，

设，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

，，画出函数图象：

根据图象知：.

6．（2023·四川·校联考一模）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是

(2)

【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ，

令，解得；令，解得；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）由题意可知：，其定义域为，

则有两个零点，即有两解，即有两解，

令，则.

令，解得；令，解得；

则的单调递减区间是，单调递增区间是，

可知，

又因为，且当趋近于，趋近于0，

要使得有两解，只需，所以，

故实数a的取值范围为.

1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的单调性．

(2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）由题意函数的定义域为．

当时，若，则单调递增；

若，则单调递减．

当时，令，得或．

①当时，，则在上单调递增．

②当时，，则当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

③当时，，则当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）由，得，

即．

设，则，

所以为增函数，且的值域为．

令，

所以可化为，则．

令．

因为关于的方程有两个实数根，

所以直线与函数的图像有两个不同的交点．

因为，

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减．

所以，且当时，，

当时，，

所以，

即实数的取值范围为．

2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论函数的零点个数；

(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）由已知函数的定义域为，

由，得，

令函数，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在单调递减，

所以，

因为，

可知函数的图象如下所示：

所以当时，函数的零点个数为0个，当或时，函数的零点个数为1个，当时，函数的零点个数为2个.

（2）由题设方程，即，

所以，

令，得，

又在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，

由已知，方程有两个实根，

即有两个实根，由（1）得.

令，

所以

令，所以有两个实根，

先证.

因为，令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，要证，即证，

因为在上单调递减，只需证，

即证.

令，

，

因为，

令，

可知函数在上单调递增，所以，所以，

所以，即在上恒成立，

所以在上单调递增，所以，所以成立，

即成立，又，且在上单调递减，

所以，所以，即，所以，

所以，即.

3．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知.

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，设.若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【详解】（1）当时，，

由题意得：，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

，无极大值.

（2）当时，，令，

则在上有两个不同的根，

而，

，则，

令，则，

而在上恒成立，故在上单调递增，

，

令.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

又，

所以，要使在上有两个不同的根，

由图可知，只需，即，

的取值范围为.