第15讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题

第15讲 拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：，使得能成立；

，使得能成立．

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

3、等价转化法

当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

4、最值定位法解决双参不等式问题

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

5、值域法解决双参等式问题

,,使得成立

①，求出的值域，记为

②求出的值域，记为

③则,求出参数取值范围.

方法一：分离变量法

1．（2022下·江西·高二期末）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．

（1）求函数；

（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）∵，

由，得且，解得，，

又，∴，

∴；

（2）存在，使得，等价于，

∵，

当时，，当时，，

∴在上递减，在上递增，

又，，

∴在上的最大值为，

∴，解得，

所以的取值范围是．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)4

【详解】（1）由，

令；令，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，且为，无极大值；

（2）由能成立，

问题转化为，

令，

由；由，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，则，

故m的最小值为4．

3．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数，.

(1)当时，讨论在区间上的单调性；

(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.

【答案】(1)在，上单调递增；在上单调递减

(2)

【详解】（1）当时，，则，

当时，；当时，；

在，上单调递增；在上单调递减.

（2）当时，由得：，

存在，使得成立，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

，，

，即，

，，

即实数的取值范围为.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为实常数）．若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】

【详解】由得，即，

因为，所以，所以，

且当时，所以在恒成立，所以，

即存在时，，

令，，

令，

令，解得，

令，解得，

所以在单调递减，单调递增，

所以，

所以时，恒成立，

所以，

所以实数的取值范围是.

方法二：分类讨论法

1．（2023下·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考期中）已知

(1)若在处取到极值，求的值；

(2)若存在使得，求的范围；

(3)直接写出零点的个数，结论不要求证明.

【答案】(1)1

(2)

(3)且有一个零点;且有两个零点

【详解】（1）的定义域为，，，所以，又时，，，得在上单调递增，在上单调递减，即在处取到极大值. 故.

（2）注意到，又时，恒成立，于是在单调递增；则存在使得；

当时，令：，得.

当时，，当时，，

于是可以得到函数在上单调递增，在单调递减.则有极大值点

.若，可得在单调递减，于是，则满足题意；

若，则，则此时不存在相应的；

若，可得在单调递增，于是.则满足题意.

综上：的范围是；

（3）且有一个零点；且有两个零点

2．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）已知函数，其中是自然对数的底数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【详解】（1）

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.

当时，时，；时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，时，；时，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

综上：时在上单调递增.

时在上单调递增，在上单调递减

时在上单调递增，在上单调递减.

（2）若在区间上有解，即求

当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.

当时在上单调递增，在上单调递减

当时，所以函数在单调递减，

所以成立，满足题意.

时，函数在单调递减，在上单调递增.

所以不成立，舍去

时在上单调递增，在上单调递减.

所以函数在单调递增，，所以

综上的取值范围为：

3．（2022上·福建福州·高二校联考期末）已知函数

(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）当时，,定义域为R，.

所以，.

所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，

即.

（2）不等式可化为：，

即存在，使得不等式成立.

构造函数，则.

①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；

②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；

③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.

综上所述：m的取值范围为：.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）时，，，

曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），

故曲线在点，（1）处的切线方程为：，

所求切线方程为：；

（2），

①当即时，，在，上为单调增函数，

此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，

②当即时，，，的变化如下：

此时，，解得：

，与矛盾，不符合题意，

③当即时，，在，上为单调减函数

，解得：，又，，

综上：实数的取值范围是．

方法三：等价转化法

1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.

【答案】

【详解】令，

若使能成立，则对于，即可，

而.

当，即时，，在上单调递减，

则，，

而显然成立，故；

当，即时，，在上单调递增，

则，可得；

当，即时，

令，得；令，得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

∴，

而，∴，故，即不成立；

综上：.

2．（2023上·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数，．

(1)若在点处的切线为，求实数的值；

(2)设函数，求函数的单调区间与极值；

(3)若存在，使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见详解

(3)

【详解】（1），

，又在点处的切线为，得，

即，解得.

（2），

，，

令，解得，令，解得，

，单调递增，，单调递减，

在处取得极大值，极大值为，无极小值.

（3）令，，使得，

等价于在上，，

，，

，，

令，，令，，

即在上单调递减，在上单调递增，

当即时，在上单调递减，

，则，解得，

，，

当即时，在上单调递减，在上单调递增，

，因为，所以，

则，即，不合题意，

综上，的取值范围为.

3．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.

(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；

(2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间；

(3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【详解】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得．

（2）函数的定义域为，

，

当时，令，可得或，

①当，即时，对任意的，，

此时，函数的单调递增区间为．

②当，即时，

令，得或，

令，得，

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

③当，即时，令，得或；令，得，

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（3）由，可得，即，其中，

令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得，

当时，，当时，，

∴函数在上严格递增，在上严格递减，

∴函数在端点或处取得最小值．

∵，∴，

∴，∴，

因此，实数的取值范围是

4．（2022下·北京·高二北师大二附中校考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.

(1)当时，求函数的极值.

(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.

(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数的极大值为，极小值为；

(2)或；

(3).

【详解】（1）解：由已知，得，

时，．令，可得或，

函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，

所以函数的极大值为，极小值为.

函数的极大值为，极小值为.

（2）解：，

令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，

满足或恒成立，

当且仅当时，，时，，

因为，所以当且仅当时，，时，，

因为在内有，当且仅当即时取等号，

所以当时，，，此时在单调递增，

当时，，，此时在单调递减，

综上，的取值范围为或．

（3）解：，在，上是减函数，

时，；时，，即，.

①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.

②时，由，，

不合题意

③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，

，，而（e），，

，解得．

故的取值范围为，．

方法四：最值定位法解决双参不等式问题

1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）因为函数，所以．

设，则，故在上递减．

，即，

在上单调递减，最小值为．

（2）令，则在上恒成立，

即函数在上单调递减，所以，

所以，即在上恒成立；

又，当时，

在区间上单调递增；

在区间上单调递减．

函数在区间上的最大值为．

综上，只需，解得，即实数的取值范围是．

2．（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数，，其中是自然对数的底数．

(1)求函数的极值；

(2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则

令，得或，列表如下：

，.

（2）解：由题意可得，

由（1）可知在单调递减，

∴，∴在有解，，

令，，令，

所以，.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．

【答案】

【详解】将，，使成立，等价为，

由，，则，

又，且，则，

则当时，；当时，，

所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，

所以．

又，，则，

又，，

所以在区间上单调递增，

所以，

又，则，解得，

故m的取值范围为．

4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，．

(1)若曲线在处的切线过点，求的值；

(2)设若对，，使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）∵，

∴．

又，即切点为，

∴，解得．

（2）“对，，使得成立”，即

“在上，”．

∵，，

∴在上单调递增，

∴．

令，得或．

①当时，在上恒成立，单调递增，

，解得；

②当时，在上恒成立，单调递减，在上恒成立，单调递增，

或，

∴或．

解得：或，∴；

③当时，在上恒成立，单调递减，，解得，

∴．

综上所述：或，即的取值范围为

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【详解】（1）∵，∴，

令，可得两根分别为1，，

∵，∴

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

（2），，由（1）知，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴在上的最小值为．

对，，使，即

在上的最小值不大于在上的最小值，（*）

又，

∴①当时，，此时与（*）矛盾；

②当时，，同样与（*）矛盾；

③当时，，且当时，，

解不等式，可得，

∴实数b的取值范围为．

方法五：值域法解决双参等式问题

1．（2023上·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数（其中且）是奇函数．

(1)求，的值并判断函数的单调性；

(2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，，函数在上单调递增

(2)

【详解】（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，

即，解得，

所以，

又，

于是对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，解得，

所以，

又，

因在上单调递增，且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

于是函数在上单调递增．

（2）由（1）知当时，函数的值域为

又根据条件得且，

所以在时单调减，时单调增；

当时，，则函数的值域为，

因为对，都，使得成立，

所以，所以，解得，

因此实数的取值范围为．

2．（2022上·浙江·高二校联考期中）函数，.

(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；

(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）解：由得，

当时，此时；

当时，，

因为，故，

所以，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

故；

综合得：；

（2）记，，

因为对，，使得，

所以，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，

当时，在上单调递增，

所以，

故，

因为，

所以，即，

又，

故.

3．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.

(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题知，，

因为的图象开口向上，对称轴为，

所以函数在上单调递减

因为函数在区间上存在零点，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

（2）记函数，的值域为集合，

，的值域为集合，

则对任意的，总存在，使得成立，

因为的图象开口向上，对称轴为，

所以当，

，，

得，

当时，的值域为，显然不满足题意；

当时，的值域为，

因为，

所以，解得；

当时，的值域为，

因为，所以，解得，

综上，实数的取值范围为.

4．（2022上·江苏南京·高一阶段练习）已知函数．

(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；

(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3)

【详解】（1）由题意，为方程的两个不等实数根，

，所以不等式为

，

解得或，所以不等式解集为.

（2）对恒成立，

令，即对恒成立，

因为函数开口向上，故只需满足，

解得，所以的取值范围为

（3）当时，，开口向上，对称轴为

当时，，，，

时，，由题意，

对任意，总存在，使成立，

即函数的值域是函数的值域的子集，

即，，

解得，所以的取值范围为.