第14讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题
学习目标
第14讲 拓展一：利用导数研究不等式恒成立问题
一、知识点归纳
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
二、题型精讲
方法一：分离变量法
1．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)
【详解】（1）由得，又，
所以在切线为
（2）令，则，故在单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取极小值，无极大值，
（3）由得，
故，
构造函数则，令，则，
故当时，，单调递增，时，单调递减，
故当取极小值也是最小值，，
所以，即
2．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知对于恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对于恒成立，
令，，
只需即可，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
故，
实数的取值范围是；
（2），故在R上恒成立，
即在R上恒成立，
令，
只需，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，
所以，故a的取值范围为.
3．（2023下·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数．
(1)当时，求的极值；
(2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围．
【答案】(1)极小值为0，无极大值
(2)
【详解】（1）当时，，∴，
由得，故的单调递增区间为；由得，
故的单调递减区间为；
所以函数有极小值为，无极大值．
（2）当时，不等式化简为，令，则；
令得，
∴在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，
又，所以．
4．（2023上·广东佛山·高三统考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）对函数求导可得．
当时，恒成立，可得函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，可得，可得函数的单调递减区间为；
令，可得，可得函数的单调递增区间为；
综上所述：时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）法一：当时，恒成立等价于，
令，则，
令，可得，即有在上单调递减；
令，可得，即有在上单调递增．
从而可得函数的最小值为，
综上即可得的取值范围是．
法二：由（1）知，当时，函数在上单调递增，
所以满足题意；
当时，，所以函数的在上单调递增，
所以满足题意；
当时，，函数的在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，即，解得：，
综上，实数的取值范围是．
5．（2023上·广东梅州·高三校考阶段练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为，极大值为2
(2)
【详解】（1）是上的奇函数，
，即，
得恒成立，
可得，即，，
又当时，取得极值，，
解得，故函数，导函数，
令解得，当，，
当时，，
单调增区间为和，单调减区间为，
故当时，取到极大值；
（2），对任意，
都有成立，只需在时恒成立，
构造函数，，则有，
令可得或，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取到极大值，又，
故的最大值为8，
故实数的取值范围为：.
方法二：分类讨论法
1．（2023·高二校考课时练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
【答案】
【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，
时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值，
函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立.
时，恒成立，此时，
时，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
故，，，
综上可知，实数的最大值为.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若当时，求的取值范围．
【答案】
【详解】：由题得，
令，所以，
当时，恒成立，仅当时，
在单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
所以满足题意；
当时，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以函数在单调递减，
又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.
综上所述：.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）的定义域为．．
若，则，在上单调递增．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．
因此．由（1）知此时．
恒成立等价于恒成立．
设，即恒成立，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然函数在处有唯一零点，且．
而恒成立，所以，
所以．
4．（2021上·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
方法三：等价转化法
1．（2023下·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知函数，（其中）．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为
(2)
【详解】（1）若，则，
，
令，可得或，令，可得，
所以单调增区间为和，单调减区间为.
（2）因为对于任意，都有成立，
所以对于任意，都有成立,
即对于任意，；
因为，所以对于任意，.
设，其中，则，
因为，所以，所以，
因此在单调递增，所以，
所以，即，故的取值范围为.
2．（2022下·福建泉州·高二福建省泉州市培元中学校考期中）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数，切点为，
，∴，
∴的图象在处的切线方程为：，即.
（2）令，.
，设，，
∵，∴，在上单调递增，
即在上单调递增，，
当时，，∴在上单调递增，
∴，
∴当时，恒成立.
当时，，
∵函数在上存在唯一的零点，
∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上可得：的取值范围是.
3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．
【答案】(1)0
(2)1
【详解】（1）当时，函数，
易知，，，
当，，当，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故最大值为.
（2）令
则，
当时，由，即，得到，显然不合题意，故，
由，得到，故
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
由（1）知当时，恒成立，即恒成立，
当时，时，，时，，
即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
当，恒成立，即在区间上单调递增，
又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，
综上所述，实数的值为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），．
依题意知时，恒成立，即．
令，，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴实数a的取值范围为；
（2）令，，则只需即可，
∴．
当时，，
∴在上单调递减，
∴，
∴，即，∴．
当时，当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴要使，
只需，即，解得，
综上，实数a的取值范围为．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中为常数，为自然对数底数）.若恒成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】由可知，，
令，有，因为单调递增，，所以，
当时，，
令，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，上单调递增，，
所以，即；
令，定义域为，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，上单调递减，，
所以，即
故，即成立，即．