第13讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值
学习目标
第13讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 ②掌握函数极值的判定及求法。 ③掌握函数在某一点取得极值的条件。 ④能根据极值点与极值的情况求参数范围。 ⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 ⑥会求某闭区间上函数的最值 ⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 | 1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.； 2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； |
知识清单
知识点01、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
知识点02、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
知识点03、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
题型精讲
【即学即练1】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为 .
【即学即练2】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 .
【即学即练3】（2023上·天津·高三统考期中）已知函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
题型01函数图象与极值（点）的关系
【典例1】（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）．
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．是的极小值点
【典例2】（2023·上海·高二专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．
①当时函数取得极小值；
②有两个极值点；
③当时函数取得极小值；
④当时函数取得极大值．
【变式1】（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
【变式2】（多选）（2023上·新疆喀什·高三统考期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上为减函数B．在处取极大值
C．在上为减函数D．在处取极小值
题型02求已知函数的极值（点）
【典例1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值．
【典例2】（2023上·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）若函数，为函数的极值点.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．
【变式2】（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求的极大值．
题型03根据函数的极值（点）求参数
【典例1】（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【典例2】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023上·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表：
| 1 | |||||
| + | 0 | - | 0 | + |
(1)写出的值，并说明理由；
(2)求的值．
【变式1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【变式2】（2023·贵州遵义·统考三模）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【变式3】（2022下·甘肃·高二校考期中）已知函数在时有极值0，求常数，的值.
题型04求函数的最值（不含参）
【典例1】（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）函数在区间上的最大值是（ ）
A．0B．C．1D．
【典例2】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【变式1】（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数在区间上的最大值是 .
【变式2】（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值1.
(1)求、b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
题型05求函数的最值（含参）
【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）设函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，求证：
(3)当时，求函数在上的最小值
【典例2】（2023下·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．
【变式1】（2022下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.
【变式2】（2022下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值．
题型06 根据函数的最值求参数
【典例1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若在区间上的最小值为，求的取值范围.
【典例2】（2023下·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）已知函数，且满足的导数的最小值为.
(1)求值；
(2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值.
【变式1】（2023上·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值．
【变式2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，．
(1)若曲线关于点对称，求a的值；
(2)若在区间上的最小值为1，求a的取值范围．
强化训练
一、单选题
1．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A．有2个极值点B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值D．在上单调递减
2．（2023下·河北保定·高二校联考期中）设函数，则（ ）
A．在区间递减B．在区间上递增
C．在点处有极大值D．在区间上递减
3．（2022下·山西阳泉·高二阳泉市第一中学校校考期末）若函数在处取得极值1，则（ ）
A．-4B．-3C．-2D．2
4．（2022上·全国·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（ ）
A．1B．3C．D．
7．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
8．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（ ）
A．8B．12C．16D．32
二、多选题
9．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（ ）
A．0B．1C．D．2
10．（2023上·福建南平·高二统考期末）若函数，则（ ）
A．函数只有极大值没有极小值B．函数只有最大值没有最小值
C．函数只有极小值没有极大值D．函数只有最小值没有最大值
三、填空题
11．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知的两个极值点分别为，2，则函数在区间上的最大值为 ．
12．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）若函数在处取得极小值，则函数的极大值为 ．
四、解答题
13．（2023上·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知函数在处有极值2.
(1)求，的值；
(2)求函数在区间上的最值.
14．（2024·四川成都·成都七中校考一模）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
1．（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知函数，是自然对数的底数.
(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若，且，求的最小值和最大值.
2．（2023上·河南·高三校联考开学考试）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若为的极小值点，求的取值范围．
3．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知，．
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)令，（e是自然对数的底数）.求当实数a等于多少时，可以使函数取得最小值为3？
1．（2023上·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设，， 对于，有，则是的（ ）
A．极大值点B．极小值点C．非极大极小值点D．ABC选项均可能
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x 表示不超过x的最大整数，x m为函数（x 1）的极值点，则 f m （ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．0