第12讲 5.3.1函数的单调性
学习目标
第12讲 5.3.1函数的单调性
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解导数与函数的单调性的关系。 ②掌握利用导数判断函数单调性的方法。 ③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 ④会利用导数证明一些简单的不等式问题。 ⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 | 通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. |
知识清单
知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则
| 条件 | 恒有 | 结论 |
| 函数在区间上可导 | 在内单调递增 | |
| 函数在区间上可导 | 在内单调递减 | |
| 函数在区间上可导 | 在内是常数函数 |
知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
知识点04：含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
题型精讲
【即学即练1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数在区间上是减函数
B．函数在区间上是减函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数在区间上是增函数
【即学即练2】（2023下·四川资阳·高二统考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
【即学即练3】（2023上·新疆·高三校联考期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【即学即练4】（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
题型01求函数的单调区间
【典例1】（2022下·湖北·高二统考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）函数的一个单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 函数与导函数图象间的关系
【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上单调递增
【典例2】（2022下·广东深圳·高二统考期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【变式2】（2022·湖南·校联考二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
题型03已知函数在区间上单调，求参数
【典例1】（2023上·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）若函数是上的减函数，则实数的最大值为 ．
【典例2】（2023·海南·校联考模拟预测）设且，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023上·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【变式2】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
题型04已知函数在区间上存在单调区间，求参数
【典例1】（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【典例2】（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 .
【变式1】（2023下·广西·高二校联考期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
题型05已知函数在的单调区间为（是），求参数
【典例1】（2023下·高二课时练习）已知函数的单调递减区间是，则 .
题型06已知函数在区间上不单调，求参数
【典例1】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ．
【变式2】（2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考阶段练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 .
题型07 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)
【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．求函数的单调区间．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性．
题型08 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)
【典例1】（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数，其中．
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)若，讨论函数的单调性．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中.求函数的单调区间；
【典例3】（2023上·甘肃庆阳·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【变式1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
【变式2】（2023上·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，讨论的单调性.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，求的单调递减区间.
题型09 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为常数，讨论函数的单调性．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
【变式1】（2022·甘肃临夏·统考一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数．讨论当时，单调性．
强化训练
一、单选题
1．（2023上·高二课时练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．,B．,C．,D．,
2．（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和 C．D．
3．（2021上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
4．（2022上·河南安阳·高三统考期中）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022上·四川成都·高三统考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2021上·广东梅州·高二统考期末）设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则单调递增；
B．若，，则单调递增；
C．，，则单调递减；
D．若，，则单调递减；
三、填空题
10．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
11．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
13．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
14．（2023上·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
1．（2022上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 .
2．（2023上·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
3．（2023上·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数 其中．
(1)若，求函数的单调区间和极值;
(2)当时，讨论函数的单调区间．
1．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ）
A．，B．
C．D．
2．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；
（2）已知函数.讨论的单调性.