第11讲 5.2导数的运算
学习目标
第11讲 5.2导数的运算
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①能根据定义求函数的导数。 ②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 ③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 ④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。 | 1.掌握基本初等函数的求导； 2.熟练掌握导数的运算公式； 3.能准确应用公式计算函数的导数； 4.会求简单的复合函数的导数； 5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.. |
知识清单
知识点01：基本初等函数的导数公式
| 原函数 | 导函数 |
| (为常数) | |
知识点02：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识点03：复合函数的导数
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
知识点04：切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
题型精讲
【即学即练1】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
【即学即练2】（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，则= .
【即学即练3】（2023上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 ．
【即学即练4】（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为 .
题型01 导数公式与运算法则的简单应用
【典例1】（2023上·河北邯郸·高三校联考阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)
(2).
【变式1】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 利用导数公式与运算法则求复合函数的导数
【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)； (6)．
【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型03解析式中含的导数问题
【典例1】（2022下·吉林长春·高二统考期中）若，则等于（ ）
A．2B．0C．-2D．-4
【典例2】（2022下·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，是的导函数，则 ．
【变式1】（2022·四川攀枝花·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
【变式2】（2022下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知函数，则的值为 ．
题型04求切线斜率
【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都师范大学附属中学校考期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（ ）
A．2B．C．D．1
【变式1】（2022上·河南·高三河南省淮阳中学校联考阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
题型05求切线方程（在型）
【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023上·云南昆明·高三统考期中）曲线在点处的切线方程是
【变式1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是 ．
【变式2】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为
题型06求切线方程（过型）
【典例1】（2023下·山东威海·高二统考期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 .
【典例2】（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
【变式1】（2022上·山西·高三统考阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ．
【变式2】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)用导数的定义，求函数在处的导数；
(2)过点作的切线，求切线方程．
题型07 利用相切关系求最小距离
【典例1】（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【典例2】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为 .
【变式1】（2023下·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 .
【变式2】（2023上·高二课时练习）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离．
强化训练
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．1D．
7．（2023上·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（ ）
A．B．
C．＝D．
10．（2023下·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2023上·广东惠州·高三博师高中校考阶段练习）已知函数，则 .
12．（2023·广东佛山·统考一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 .
四、解答题
13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
14．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）；
(2)求与曲线相切，并过点的直线方程.
1．（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
2．（2023下·河南南阳·高二校联考期中）已知函数．
(1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；
(2)当时，求曲线过点的切线方程．
3．（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .