第10讲 5.1导数的概念及其几何意义

【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率．

【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率：

【即学即练3】（2023·高二课时练习）已知函数，当时， ．

【即学即练4】（2023上·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线方程．

【即学即练5】（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．

【典例1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ）

【典例2】（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）

【变式1】（2023下·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ）

【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度．

【典例1】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ）

【典例2】（2023·河南·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ）

【变式1】（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）函数在处的瞬时变化率为（    ）

【变式2】（2023·高二课时练习）已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝ s时的瞬时速度为12 m/s.

【典例1】（2023·高二课时练习）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ）

【典例2】（2023下·湖北·高二校联考期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ）

【变式1】（2022下·安徽黄山·高二屯溪一中校考期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　）

【变式2】（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．

【典例1】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．

【典例2】（2023下·河南·高二校联考阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 .

【变式1】（2023下·北京丰台·高二统考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．

【变式2】（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则

【典例1】（2023下·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 .

【典例2】（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数.

【典例3】（2023·全国·高二专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程．

【变式1】（2023·高二课时练习）已知曲线上的两点和，求：

【变式2】（2022·高二课时练习）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.

1．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ）

2．（2023下·广西桂林·高二统考期末）设函数，则（    ）

3．（2023下·西藏林芝·高二校考期末）函数在区间上的平均变化率为（  　）

4．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ）

5．（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）

6．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ）

7．（2023下·高二课时练习）已知抛物线在处的增量为，则的值为（　　）

8．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函数在附近的平均变化率是（　　）

9．（2023下·山东日照·高二校考阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ）

10．（2023下·高二课时练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（    ）

11．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ．

12．（2023下·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为

13．（2023·全国·高二随堂练习）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值：

14．（2023·全国·高二随堂练习）对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为，该工人每天工作8h．

1．（2023·全国·高二课堂例题）充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率．

2．（2023下·高二课时练习）已知函数．