第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结

第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结

1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：

(1)若，，求；

(2)若，，求；

(3)若，，，求n．

【答案】(1)2

(2)1596

(3)11

【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，故，

解得；

（2）数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得，

则；

（3）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，则，解得，

由，得，

解得或（舍去），

故.

2．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，求；

(4)已知，，求．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【详解】（1）由，，，则．

（2）由，，，则，解得．

（3）由，，则．

（4）由，，则．

3．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．

(1)若，，求；

(2)若，，求；

(3)若，，，求n．

【答案】(1)2700

(2)

(3)．

【详解】（1）因为，，根据公式，

可得．

（2）因为，，所以．根据公式，

可得．

（3）把，，代入，

得．

整理，得．

解得，或（舍去）．

所以．

4．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，

(1)已知，，求；

(2)已知，，求．

【答案】(1)44

(2)

【详解】（1）设，

则

解得

故.

（2）设，

则

解得

故.

5．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）在正项等比数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则．

由，，得，

解得，则，则，

故．

（2）由（1）可知，

则是以1为首项，2为公差的等差数列，

故．

6．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列．

(1)若，，求；

(2)若，，求和q；

(3)若，，求.

【答案】(1)

(2)

(3)或

【详解】（1）因为数列为等比数列，且，，

所以，

（2）因为，，

所以，解得，

（3）因为，，

所以，

由题意可知，

所以，所以，解得或，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上或

7．（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列的前n项和．

(1)，，；

(2)，，；

(3)，，；

(4)，，．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)378

【详解】（1）由，，得

（2）由，，得

（3）由，，得

（4）由，，得

8．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列，前n项和为．

(1)如果，，求；

(2)如果，，求q；

(3)如果，，求．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【详解】（1）等比数列中，，，

，解得．

（2）在等比数列中，

，，显然公比，

，整理得，

解得或．

（3）因为，，所以公比，

所以，，

所以，即，所以，

所以，则.

1．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知下列数列的前n项和的公式.

(1)求的通项公式；

(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.

【答案】(1)

(2)不是等差数列，理由见解析

【详解】（1）因为，

当时，，

当时，，

当时，上式不成立，

所以；

（2）由（1）得，

因为，

所以数列不是等差数列.

2．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）数列满足，是常数．

(1)当时，求及的值；

(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

【答案】(1)，

(2)数列不是等差数列，理由见解析

【详解】（1）因为，

又，，解得，

所以；

（2）因为，，，

假设数列是等差数列，则，

则，即，解得，

当时，，，，

，故，数列不是等差数列，

故假设不成立，故数列不可能为等差数列

3．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：数列是等差数列.

【答案】(1)

(2)见解析

【详解】（1）当时，，

当时，，

令，满足，所以.

（2）由（1）知，，

所以数列是以首项为，公差为等差数列.

4．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知数列满足，．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式及它的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【详解】（1）证明：因为，所以，

所以，

所以，

因为，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）得，所以，

所以

5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，．证明：数列为等比数列；

【答案】证明见解析

【详解】（1）由题意，当时，，得，解得．

由题意知，①

当时，，②

①-②得，因为，所以．

则，∵，∴

所以是以为首项，2为公比的等比数列．

6．（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）在数列中，，.

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；；

(2)

【详解】（1），

当时，，

数列是首项为，公比为的等比数列，

，；

（2）

数列的前项和

．

7．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，已知，且．

(1)求证：数列是等比数列．

(2)求数列的通项公式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）令，

∴，

∵，故，

∴数列是公比为2的等比数列，

即数列是公比为2的等比数列．

（2）由（1）易知，即，得，

即．

1．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）若数列满足，且，则其前17项和（    ）

A．136B．119C．102D．85

【答案】B

【详解】根据可得，所以数列是公差为2的等差数列，

利用等差数列性质由可得；

所以其前17项和.

故选：B

2．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．6B．7C．8D．9

【答案】D

【详解】解：因为为等差数列，，

即，解得，

所以（为等差数列的公差）.

故选：D.

3．（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】由等差数列的性质，，又，解得或，又是递增数列，所以，，

.

故选：C.

4．（2023春·河南周口·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】因为，，

所以．

故选：D

5．（2023春·新疆·高二八一中学校考期末）若两个等差数列，的前n项和满足，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】由，

得.

故选：B.

6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ）

A．9B．10C．17D．18

【答案】C

【详解】解：因为，所以异号，

因为，所以，

又有，所以，即，

因为，，

所以的最大整数n为17.

故选：C

7．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．8B．9C．16D．17

【答案】A

【详解】设，则，

因为为等比数列，所以仍成等比数列.

易知，

所以,故.

故选:A.

8．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ）

A．90B．135C．150D．180

【答案】C

【详解】由题意，

在等比数列中，，

由等比数列前n项和的性质可得，，，成等比数列，

∴有，即，

整理可得，解得（舍）或，

∵，

∴有，解得，

故选：C.

9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】设等比数列的公比为（），

则，解得：，

又，

所以，

故选：C.

10．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ．

【答案】

【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知；

可得为定值，所以即为等差数列，又，

即是以为首项，公差为1的等差数列，

所以，从而．

故答案为：

11．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足， ．

【答案】

【详解】运用等差数列的性质,可得即，

由等差数列性质可知．

故答案为：.

12．（2023秋·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列为等比数列，且，则 ．

【答案】

【详解】由为等比数列，则，

又，则，即，

所以．

故答案为：．

13．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列的前n项和为，且，，求．

【答案】81

【详解】由于等差数列的前n项和为，

故也成等差数列，

即，即，

解得.

14．（2023·全国·高二随堂练习）在由正数组成的等比数列中，若，求的值．

【答案】

【详解】数列是由正数组成的等比数列，

，，又，

故，

则

.

1．（2023·浙江·模拟预测）已知数列满足

(1)若，求数列的通项；

(2)记为数列的前项之和，若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【详解】（1）当,①,

②,

①②可得,左右同时乘以可以得出:

,即得

当时,

应用累加法可得:

,

当时,,

,且,

（2）由（1）,

,

,

若，则,

或.

2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，；

(2)

【详解】（1）由，得，

又，所以当时，

，

所以，又，符合上式，，所以，

又，所以．

（2）由（1）知，所以，

，

两式相减得，

所以．

3．（2023·湖南永州·统考一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求的前项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意可得，

即得，则，

即，可得，由于，故得，

则，故；

（2）由（1）结论可得

，

故的前项和

.

4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)记______，数列的前n项和为，求．

在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析；

(2)答案见解析.

【详解】（1）由，得，则，而，

因此，显然，

所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）选择①：由（1）得，，

则

所以．

选择②：由（1）得，，

则，

所以.

选择③：由（1）得，，

则，

所以.

5．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）记等差数列的前项和为，已知，且．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设数列的公差为，

由，得．

因为，

所以，

整理得，

所以，即，

解得或．

当时，，所以，符合题意；

当时，，所以，不符合题意，舍去，

所以．

（2）由（1）知，则，

所以，

则，

两式相减，得

令，

则，

两式相减，得，

所以，

所以，

所以．

函数方程

1．（2023·上海浦东新·统考三模）已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是 ．

【答案】

【详解】由题意，当时， ，令 ， ，

即 是 ，公比为3的等比数列， ，

，当 ， 也成立， ；

对于 ，即 ，令 ，

考察= ，其中 是对称轴为 ，开口向下的抛物线，

当时， ，当时， ，  ，当 时 最大，

；

故答案为： .

2．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．

(1)求；

(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为数列为等差数列，，成等比数列，

所以，

因为，所以，

所以．

（2）因为，

所以，

两式相减得，所以．

所以，

所以，

所以．

因为对任意的，都有，

所以，所以．

令，

则，

所以当时，递增，

而，所以，

所以．

3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的最大项.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意知，

又因为，

即，

解得，又，

所以.

（2）由（1）知，

设，

所以，又因为，

所以，

因为函数在时递减，

所以的最大值可能出现在或时，

时，，

时，，

所以数列的最大项为.

4．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列的前n项和满足．

(1)求首项的值及的通项公式；

(2)设，求满足的最大正整数n的值．

【答案】(1)，

(2)11

【详解】（1）解法1：当时，，则，即，

因为数列是等比数列，所以公比为2，

当时，，即，所以，且满足题意，

所以的通项公式为．

解法2：由题知，，即，

由①代入②，得，

解得或．（舍去），

所以的通项公式为．

（2）由（1）得，所以，所以

，

由得，即，

令，则，

所以在时单调递增，且，

而，

所以满足条件的最大正整数．

分类讨论思想

1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设公比为，由，得，

即，得，

解得或（舍去），得，又，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

故数列的通项公式为.

（2）由为数列在区间中的项的个数，

可知，，.

当时，；当时，；

当时，；当时，.

∴.

∴数列前100项的和为.

2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，则，

两式相减得：，

整理得：，

即时，，

所以时，，

又时，，得，也满足上式．

故．

（2）由（1）可知：．

记，设数列的前项和．

当时，；

当时，

综上：

3．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记，求.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，

所以，即，解得或（舍去），

所以．

（2）由题意知，，

所以

．

当为偶数时，

，

当为奇数时，

．

综上．

4．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，，成等差数列，得，①

当时，，

∴，得（舍去），

当时，，②

①－②得，，

∴，

又，∴，

∴是首项为2，公差为1的等差数列，

∴，

故；

（2）由（1）知，

当是奇数时，

，

当是偶数时，

，

综上.