第06讲 拓展一：数列求通项

第06讲 拓展一：数列求通项

知识点一：数列求通项（法、法）

1对于数列，前项和记为；

①；②

②：

2对于数列，前项积记为；

①；②

①②：

知识点二：累加法（叠加法）

若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。

具体步骤：

将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：

=

整理得：=

知识点三：累乘法（叠乘法）

若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。

具体步骤：

将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：

整理得：

知识点四：构造法

类型1： 用“待定系数法”构造等比数列

形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.

标准模型：（为常数，）或（为常数，）

类型2：用“同除法”构造等差数列

（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.

（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.

（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.

知识点五：倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.

类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）

知识点六：隔项等差数列

已知数列，满足，

则；

（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：

①构成以为首项的等差数列，公差为；

②构成以为首项的等差数列，公差为；

知识点七：隔项等比数列

已知数列，满足，

则；

（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：

①构成以为首项的等比数列，公比为；

②构成以为首项的等比数列，公比为；

1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（    ）

A．是等比数列B．

C．D．

【答案】BD

【详解】因为，，，，

所以，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确；

当时，，

当时，，不满足上式，所以，故A错误；

因为，故B正确；

因为，故C错误．

故选：BD．

2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，的通项公式为 .

【答案】

【详解】当时，，

当时，，

不适合上式，

故的通项公式为，

故答案为：

3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．

【答案】

【详解】由知，

当时，；

当时，，

此时，当时，，

当时，，而，

若数列是等差数列，则，

所以，则.

故答案为：.

4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由得，故两式相减可得：，化简得，

由于各项均为正数，所以，故（常数），

又当时，，由于，故，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；

故．

（2）由（1）得：时，；

所以当时，

；

当也符合上式，

故

5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，，，，…，依此类推，求的通项公式.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为①，所以②

②－①两得，即，

又因，所以；当时，解得，所以.

（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为.

为中的n项之和，为中的前项和.

，，

当时，，

也满足上式.故.

6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.

【答案】(1)

(2)9089

【详解】（1）依题意，当时，解得，

，当时，有，作差得：

，

，

，

数列是首项为3，公差为2的等差数列，

.

（2）由（1）得，，又，同时，

.

所以的前100项和为9089.

1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的前n项和为

B．数列的通项公式为

C．数列不是递增数列

D．数列为递增数列

【答案】CD

【详解】，则，即，

故是首项为，公差为的等差数列，故，即，

，.

对选项A：，错误；

对选项B：，错误；

对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；

对选项D：，故数列为递增数列，正确；

故选：CD.

2．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则 ．

【答案】

【详解】由，得到，

然后两边同除以得到，即，

于是数列是公差为的等差数列．

而，于是，进而得到，

所以当时，有（）．

综上所述，．

故答案为：

3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.

(1)求；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）当时，，

即，

由数列为正项数列可知，，又，

即数列是首项为1，公差为1的等差数列，

即，则，

当时，，当时，成立，

所以

（2）由（1）可知，，则，

当时，

，成立，，成立，

当时，

，

即.

综上可知，，得证.

4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列，，其前n项的和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）当时，，

又因为，所以，

即，则，

又，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，

所以，则，

从而当时，，

显然，不符合上式，

故数列的通项公式为

（2）由（1）得，

当时，，

所以

，故不等式成立.

5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，得，

因为，所以，

所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，

所以，当时，，

当时，也满足上式，

所以数列的通项公式为．

（2）由知：

当时，，

①，

则②，

由得：，

化简得：，

当时，也满足上式，

所以数列的通项公式为．

6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.

(1)若，证明：数列为等差数列.

(2)若，，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)33

【详解】（1）（1）由已知，，，，

所以，

故数列为公差为1等差数列

（2）因为，不满足条件，此时，，

由（1）知数列为首项为1公差为1等差数列，所以，故，

当时，，

由，故，即，

因为，所以.故满足的n最小值为33.

1．（多选）（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列满足，则（    ）

A．

B．的前项和为

C．的前100项和为

D．的前20项和为284

【答案】ABD

【详解】当时，，

当时，，

两式相减可得：，

所以，当时，满足，故，故A正确；

的前项和为，故B正确；

令，的前100项和为：

，故C错误；

令，

所以的前20项和为：

，故D正确.

故选：ABD.

2．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ）

A．B．

C．D．

【答案】B

【详解】由题设且(n ≥ 2)，故且，

所以，又也满足，故，则，

所以.

故选：B

3．（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）数列满足，，且.

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）解： ，

当时，，

作差，得，即.

因为，，所以，满足，

即为常数列，即，.

4．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的前项之积为，且．

(1)求数列和的通项公式；

【答案】(1)，

【详解】（1）①，

②，

①-②可得也满足上式，③．

数列的前项之积为当时，，代入③可得，

．

5．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）数列的前项和为,①,

当时,②,

①②得：，所以,

又，也满足上式，故．

6．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列满足．

(1)求的值；

【答案】(1)

【详解】（1）由题意可知：数列的前n项和，

当时，可得，所以；

当时，可得

．

所以；

又因为也符合，所以．

1．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】∵，∴，

∴

，

故选：C.

2．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（    ）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【详解】由已知可得， ，…，，,将上面式子左右两边分别相加可得，，

令，，

，

当时，为减函数，时，为增函数，且，

又，，

且

∴，故当时，取得最小值.

故选：B.

3．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，则 ．

【答案】

【详解】因为数列满足，

所以，，…，，

当时，；

当时，，满足上式．

综上所述，．

故答案为：．

4．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为 ．

【答案】/

【详解】由，得，所以

当时，

，而满足上式，

所以.

故答案为：.

5．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，

(1)求数列{}的通项公式；

【答案】(1)，；

【详解】（1）（法一）由題意知，，则，

累加得：且，又，故，

而符合上式，故.

（法二）由题意知，则，

所以则.

6．（2023秋·高二课时练习）在数列中，，且，求数列的通项公式．

【答案】

【详解】由题设，

所以且，

显然满足上式，

所以

7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列中，，，求通项．

【答案】.

【详解】由，得

以上个式子相加，又，

所以．

1．（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列满足，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】因为，

所以，

上述各式相乘得，

因为，所以，

经检验，满足，

所以.

故选：D.

2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则的通项公式为 ．

【答案】

【详解】由题意知，故，

故

，

故答案为：

3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式 .

【答案】

【详解】解：由，得，

则，

，

，

，

累乘得，

所以.

故答案为：.

4．（2023·全国·高二专题练习）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 .

【答案】

【详解】解： 数列中，，，

，

．

故答案为：．

5．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，（）求数列的通项.

【答案】.

【详解】在数列中，，当时，，显然，则，

，也满足上式，

所以数列的通项是.

6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.

【答案】.

【详解】由题意得，

当时，

，

又也满足上式，所以.

故.

1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】由得，而，

故是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，即.

故选：D

2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，则等于（    ）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】

所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，

所以.

故选：C

3．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．

【答案】5

【详解】由，解得，

又，所以．

另一方面由，可得，

所以是首项为，公比为3的等比数列，

所以，易知是递增数列，

又，，

所以满足的最小正整数．

故答案为：5．

4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式 .

【答案】

【详解】因为，所以，又，

所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，则.

故答案为：

5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ．

【答案】

【详解】∵，

∴，

即．又，，

∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，

∴，

∴数列的通项公式．

故答案为：.

6．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知在数列中，，，则 ．

【答案】

【详解】因为，，所以，

整理得，所以数列是以为首项，

为公比的等比数列，所以，解得．

故答案为：.

1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递增数列

D．的前n项和

【答案】ABD

【详解】因为，

所以+3，所以，

又因为，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；

，即，故B正确；

因为，

因为，所以，

所以，所以为递减数列，故C错误；

，

则，故D正确.

故选：ABD.

2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．

【答案】

【详解】由两边取倒数可得，即．

所以数列是首项为2，公差为3等差数列.

所以，所以．

故答案为：.

3．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数.

(1)若在数列中，，，计算、、，并由此猜想通项公式；

(2)证明（1）中的猜想．

【答案】(1)，，，

(2)证明见解析

【详解】（1）解：因为，在数列中，，，则，

所以，，，，

猜想，对任意的，.

（2）证明：因为，，则，即，

所以，数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，，故对任意的，.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．

【答案】

【详解】令．先求出数列的不动点，解得．

将不动点代入递推公式，得，

整理得，，

∴．

令，则，．

∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．

∴的通项公式为．

将代入，得．

∴．

5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的通项公式为，

(1)求数列的通项公式.

(2)若，求满足条件的最大整数值.

【答案】(1)

(2)99

【详解】（1）解：因为，

所以，

则，

又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以；

（2）解：由（1）可得，

则，

由，则，

因为函数是增函数，

且当时，，

当时，，

所以满足的最大正整数的值为99.