第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式

【即学即练1】（2023春·海南儋州·高二校考期中）在等比数列{an}中，

【即学即练2】（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ）

【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列的前n项和．

【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列，前n项和为．

【变式1】（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知等比数列的前项和.

【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等比数列.

【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

【典例2】（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

【变式1】（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ）

【变式2】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（    ）

【典例1】（2023春·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）

【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ．

【典例3】（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ．

【变式1】（2023春·高二课时练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ）

【变式2】（2023春·高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ）

【变式3】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（    ）

【变式4】（2023·全国·高二随堂练习）在等比数列中，，，求的值.

【典例1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:.

【典例2】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知数列的首项为，且满足.

【变式1】（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且为等比数列，.

【变式2】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，，

【典例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.

【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列.

【变式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.

【变式2】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．

【典例1】（2023秋·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则 .

【典例2】（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．

【典例3】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项．

【变式1】（多选）（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（    ）

【变式2】（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．

【变式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城拖船中学校考开学考试）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．

1．（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）设为公比为的等比数列的前项和，且，则（    ）

2．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ）

3．（2023春·北京·高二中关村中学校考期中）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（    ）

4．（2023·高二课时练习）若，则的值为（    ）

5．（2023秋·四川雅安·高三校考阶段练习）在等比数列中，，，则（    ）

6．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

7．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

8．（2023春·河南郑州·高二校联考期中）数列，其前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

9．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（    ）

10．（2023秋·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（    ）

11．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .

12．（2023春·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则 .

13．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．

14．（2023秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．

1．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）已知为等比数列，的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ）

2．（2023秋·山东·高三山东省北镇中学校联考开学考试）已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（    ）

3．（2023秋·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有.

1．（2023秋·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（    ）

2．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，．

3．（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.