第04讲 4.3.1等比数列的概念
学习目标
第04讲 4.3.1等比数列的概念
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 ②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。 | 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题 |
知识清单
知识点01：等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()
符号语言（或者）(为常数，，)
知识点02：等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
知识点03：等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比．
知识点04：等比数列的单调性
已知等比数列的首项为，公比为
1、当或时，等比数列为递增数列；
2、当或时，等比数列为递减数列；
3、当时，等比数列为常数列（）
4、当时，等比数列为摆动数列.
知识点05：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识点06：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
题型精讲
【即学即练1】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】（2023春·高二课时练习）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【即学即练3】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则的公比（ ）
A．B．2C．D．4
题型01 等比数列通项公式的应用
【典例1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，且，则 .
【典例2】（2023春·北京东城·高二统考期末）已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 .
【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是公比为q的等比数列．
(1)若，，求的通项公式；
(2)若，，，求n．
【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则
【变式3】（2023秋·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
题型02等比中项
【典例1】（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．或D．
【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
(1)求45和80的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是2k，求k．
【变式1】（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A．B．C．2D．4
【变式2】（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ）
A．2B．C．D．
题型03等比数列的判断与证明
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）如果数列是等比数列，那么（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等比数列D．数列是等比数列
【典例2】（2023·高二课时练习）函数（为常数，且），数列是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列是等比数列．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列中，，.证明：数列是等比数列；
题型04等比数列性质的应用
【典例1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（ ）
A．24B．32C．36D．40
【典例2】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在正项等比数列中，，则的最小值是（ ）
A．12B．18C．24D．36
【典例3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 .
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则 ．
【变式3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）正项等比数列中，，则的值是 ．
题型05构造等比数列求通项公式（构造法求通项）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，则数列的通项公式为 .
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式；
【典例3】（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在数列中，，
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，，求数列的前n项和Sn．
【变式1】（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
【变式2】（2023春·高二课时练习）数列满足.
(1)若，求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
题型06等比数列在传统文化中的应用
1．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为；
第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为，
第三种挖掉的三角形边长为，共个，
面积为，
故被挖去的三角形面积之和是.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，
因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，
所以当进行三次操作后的曲线长度为.
故选：C
3．（2023·北京·高三专题练习）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
4．（2023秋·福建三明·高三统考期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为 .
【答案】
【详解】由题意，当时，第1个图中的三角形的边长为，三角形的周长为；
当时，第2个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，
其“雪花曲线”周长为；
当时，第3个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，
其“雪花曲线”周长为；
当时，第4个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，
其“雪花曲线”周长为.
故答案为：.
强化训练
一、单选题
1．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）设是等比数列，且，，则（ ）
A．24B．36C．48D．64
2．（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（ ）
A．等差数列，但不是等比数列B．等比数列，但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列D．既不是等差数列，也不是等比数列
4．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（ ）
A．B．C．27D．
5．（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．12D．36
6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列B．为递增数列
C．为等比数列D．的前项和
10．（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的有（ ）
A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B．数列的通项为，若为单调递增数列，则
C．等比数列中，，是方程的两根，则
D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则通项公式 .
12．（2023春·江西·高二统考期末）记等比数列的前n项和为，且，则 .
四、解答题
13．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）数列的满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．
14．（2023秋·江苏·高二专题练习）设各项都是正数的数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的通项公式．
1．（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·上海静安·高二校考阶段练习）已知数列的通项公式（，为正整数）.
(1)若，，成等差数列，求的值；
(2)是否存在且为正整数）与，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的有序实数对；若不存在，请说明理由.
5．（2023秋·高二课时练习）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只移动个金属片；
（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动多少次？
6．（2023·全国·高三专题练习）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列.