第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式

【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列．

【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ．

【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，.

【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：

【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．

【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列．

【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ．

【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和．

【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和.

【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和

【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ）

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）

【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（    ）

【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（    ）

【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 .

【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ．

【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ）

【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 .

【变式2】（2023春·湖北·高二统考期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ）

【变式3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列，的前项和分别是与，且，则 ； .

【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ）

【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）记等差数列的前项和为，已知，．

【典例3】（2023春·甘肃临夏·高二校考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.

【变式1】（多选）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（    ）

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为 .

【变式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.

【典例1】（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ）

【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（     ）

【典例3】（多选）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）

【变式1】（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ）

【变式2】（多选）（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（    ）

【变式3】（多选）（2023秋·高二课时练习）设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（     ）.

【典例1】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）若等差数列的首项，，记，则 ．

【典例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.

【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

【变式1】（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习）在公差为的等差数列中，已知，且.

【变式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考阶段练习）设等差数列的前项和为，，.

【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．

【典例1】（2023秋·甘肃·高二校考阶段练习）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ）

【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ）

【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，求通项公式．

【变式1】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ）

【变式2】（2023春·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）．

【变式3】（2023·高二课时练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ）

【典例1】（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）

【典例2】（2023春·广东珠海·高二珠海市第一中学校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（    ）

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则 ．

【典例1】（2023秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知，若数列的前项和为，则的取值范围为 .

【典例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且当时，.

【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．

【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）数列中，，，则（    ）

【变式2】（2023·河南·模拟预测）记为等差数列的前n项和，已知，．

【变式3】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为

1．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（    ）

3．（2023春·江西·高二统考期末）数列的前项和，则取最大值时的值为（    ）

4．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ）

5．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

6．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ）

7．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则数列的前10项和为（    ）

8．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列中，，，则数列的前项和（    ）

9．（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（    ）

10．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（    ）

11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 .

12．（2023·全国·高三专题练习）数列的通项为，其前n项和为，若，则项数 ．

13．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.

14．（2023秋·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，且．

1．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（    ）

2．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（    ）

3．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .

4．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为

5．（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.

1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（    ）

2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ）

3．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为

4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第一中学校联考阶段练习）等差数列中，，的前n项和为，且.