第01讲 4.1数列的概念

【即学即练1】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（    ）

【即学即练2】（2023春·湖北·高二校联考期中）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）

【即学即练3】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ．

【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（    ）

【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（    ）

【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ）

【变式1】（2023·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

【变式2】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知，则数列是（    ）

【变式3】（2023春·高二校考课时练习）下列叙述不正确的是（    ）

【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式：

【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：

【变式1】（2023秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ）

【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式：

【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，是否是该数列中的项？若是，是第几项？

【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知无穷数列，，，…，，…．

【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．

【典例1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（    ）

【典例2】（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（    ）

【典例3】（2023·高二课时练习）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有条边.

【变式1】（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（    ）

【变式2】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）数列满足，且对，恒有，则（    ）

【变式3】（2023春·四川眉山·高三校考开学考试）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）

【典例1】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ）

【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性．

【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）判断下列数列的单调性：

【变式1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ）

【变式2】（多选）（2023秋·高二课时练习）下列数列是单调递增数列的有（    ）

【变式3】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，设数列的通项公式为，其中；

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　）

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ）

【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．

【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．

【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由．

【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为．

【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（    ）

【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）数列满足，若，则等于（    ）

【典例3】（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数列满足，则 .

【变式1】（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）若数列满足，，，则（    ）

【变式2】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，设，，则（    ）

【变式3】（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知数列中，，则 ．

【典例1】（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式 .

【典例2】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 .

【典例3】（2023秋·上海徐汇·高二上海民办南模中学校考阶段练习）若数列的前项和为，则 .

【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .

【变式2】（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 .

【变式3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．

1．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（    ）

2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知数列满足，若，则（    ）

3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，若，则（    ）

4．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）设数列满足，则（    ）

5．（2023·河南·校联考模拟预测）《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（    ）.

6．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（    ）

7．（2023春·福建福州·高二校联考期中）如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（    ）

8．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ）

9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（　　）

10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（   ）

11．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则此数列最大项的值是 .

12．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11项是

13．（2023·全国·高三对口高考）已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列.

14．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知数列.

1．（2023秋·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知数列具有性质 P:对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：

2．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ）

3．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ）

4．（2023秋·高二课时练习）已知数列的前n项和为．求数列的通项公式.

5．（2023·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．