第08讲 7.5 正态分布

【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（    ）

【即学即练2】（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）

【即学即练3】（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，．

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ）

【典例2】（2024·全国·高二假期作业）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ．

【变式1】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）

【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ）

【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，

【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ）

【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ）

【典例3】（2023下·高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ）

【变式2】（2024·全国·高二假期作业）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ）

【变式3】（多选）（2023上·全国·高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

【典例1】（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（　　）

【典例2】（多选）（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（    ）

【典例3】（2024·山西·校联考模拟预测）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

【变式1】（2024·全国·高二假期作业）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ）

【变式2】（多选）（2023下·高二课时练习）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ）

【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X~N(0，1)，，其中x>0，则下列等式成立的有（    ）

【典例1】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（    ）

【典例2】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．

【变式1】（多选）（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（    ）

【变式2】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

【变式3】（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）

【典例1】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ）

【典例2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）己知随机变量，则（    ）

【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则 ．

【变式1】（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量，且，则（    ）

【变式2】（多选）（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ）

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．

【典例1】（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率为 ．

【典例3】（2024上·全国·高三期末）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

【变式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人

【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.

【变式3】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：

【典例1】（2024下·全国·高三期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.

【典例2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布．

【典例3】（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ．

【变式2】（2023下·福建泉州·高二校考期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：

【变式3】（2023下·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.

【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

【典例2】（2024·全国·模拟预测）设随机变量服从正态分布，若，且，则 ．

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量,且，若,则的最小值为 ．

【变式1】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量，且，则（    ）

【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论正确的为（    ）

【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．

1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（    ）

2．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ）

3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，．

4．（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）

5．（2024·全国·高二假期作业）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（    ）

6．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（    ）

7．（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量，且，则（    ）

8．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（    ）

9．（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ）

10．（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

11．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.

12．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为 人

13．（2024上·全国·高三期末）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．

1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.

2．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：

3．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：

4．（2024下·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：