第06讲 第八章 成对数据的统计分析 章节验收测评卷

第06讲 第八章 成对数据的统计分析 章节验收测评卷

1．（2024上·辽宁·高二校联考期末）在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】因为所有的样本点都在直线上，所以相关系数满足.

又因为，所以，所以.

故选：C.

2．（2024·全国·高三专题练习）下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（    ）

A．52、54

B．54、52

C．94、146

D．146、94

【答案】A

【详解】由题意可得，解得，

所以a、b值分别为52、54.

故选：A.

3．（2024上·江西上饶·高二校考阶段练习）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ）

A．<B．=

C．>D．、关系不能确定

【答案】A

【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<，

故选：A.

4．（2024·云南曲靖·统考一模）已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关．现有一组数据如下表所示：

则当时，预测的值为（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】令，由可得，如下表所示：

由表格中的数据可得，，

则有，解得，故，

当时，.

故选：C.

5．（2024下·全国·高二随堂练习）某公司在x年的销售额(万元)如下表，根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为，则当关于a，b的表达式取到最小值时，（    ）

A．5B．13

C．8059D．8077

【答案】D

【详解】由题意得，，

表示样本点与回归直线的整体接近程度，

且由样本点构成的表为

对应的回归直线方程为：，

由表知，所以，

由题意可知：在散点图中，样本点是将样本点整体向左平移了2016个单位，

故取到最小值时，回归直线与必平行，则有，

所以，所以.

故选：D.

6．（2024·四川南充·统考一模）某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表．发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：．则下列说法错误的是（    ）

A．由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件

B．表中数据的样本中心点为

C．

D．由表中数据可知，y和x成正相关

【答案】A

【详解】依题意，，

而y与x的回归直线方程为：，则，

解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确；

由，得y和x成正相关，D正确；

2024年1月份，即，由回归直线方程，得，

因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误.

故选：A

7．（2024·全国·高三专题练习）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：

由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【详解】因为，

所以，

即经验回归方程，

当时，，

所以，

即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，

故选：B

8．（2023下·广东广州·高二统考期末）某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（    ）

参考公式及数据：.

A．35人B．32人C．31人D．30人

【答案】B

【详解】设男生人数为，则女生人数为，

所以其中女生喜爱羽毛球运动的人数为，

男生喜爱羽毛球运动的人数为，

所以得到的列联表为：

解得：，故被调查的男生至少有人.

故选：B.

9．（2023上·全国·高三专题练习）以下结论正确的是（ ）

A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系

B．的值越大，两个事件的相关性就越大

C．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好

D．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15

【答案】ABC

【详解】对于A，，故根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系，即A正确：

对于B，越大，“与有关系”可信程度越大，相关性就越大，即B正确；

对于C，在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即C正确；

对于D，回归直线方程中，当变量等于200时，的值平均是15，不能说一定是15，故D错误.

故选：ABC.

10．（2023下·山西运城·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（    ）

A．在两个变量与的列联表中，当越大，两个变量有关联的可能性越大

B．若所有样本点都在经验回归方程上，则变量间的相关系数是

C．决定系数越接近1，拟合效果越好

D．独立性检验一定能给出明确的结论

【答案】AC

【详解】A选项：根据独立性检验的公式可知，当越大，两个变量有关的可能性越大，故A正确；

B选项：相关系数，故B错误；

C选项：决定系数越接近1，拟合效果越好，故C正确；

D选项：独立性检验与样本的选取有关，不一定正确，故D项错误．

故选：AC

11．（2023上·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：

参考数据：．

则下列说法正确的是（    ）

A．经验回归直线经过点

B．

C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元

D．相应于点的残差为0.103

【答案】AC

【详解】选项A：由题意得：，

因为，，所以，得，

因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；

选项B：由A知，，得，故B错误；

选项C：由B得，则当时，，

故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确；

选项D：当时，，相应于点的残差为，

（相应于点的残差），故D错误，

故选：AC

12．（2023上·全国·高三专题练习）炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下列联表，零假设为：旅行方式与年龄没有关联，则下列说法正确的有（    ）

附：，其中．

A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为

B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则所选2人中至少有1人不小于40岁的概率为

C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联

D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05

【答案】BCD

【详解】选项A，在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为，故A错误；

选项B，在选择自由行的游客中，年龄小于40岁和不小于40岁的人数比为，

所以抽取的6人中，年龄小于40岁的人数为，年龄不小于40岁的人数为，

所以所选2人中至少有1人不小于40岁的概率为，故B正确；

选项C，因为，

所以根据的独立性检验，可推断旅行方式与年龄没有关联，故C正确；

选项D，由，

所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，可推断旅行方式与年龄有关联，故D正确．

故选：BCD．

13．（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：

根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为 ．

【答案】3

【详解】．

因为回归直线过样本中心点，

所以，解得．

故答案为：

14．（2023上·全国·高三专题练习）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝ 的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．

【答案】0.01

【详解】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．

故答案为：0.01.

15．（2023·全国·高三专题练习）某种群在繁殖季节参加生殖活动的雌雄个体的数量叫做亲体数量，一个繁殖周期后的种群数量可表示为该种群的补充量．已知某水域中鲤鱼的亲体数量x（百条）与补充量y（百条）的关系可以用模型拟合，设，变换后得到的经验回归方程为，则当鲤鱼的补充量y＝3时，亲体数量x的估计值为 ．（，结果保留整数）

【答案】6

【详解】，所以，，

解得b＝1，，则，

当y＝3时，，解得，

故当鲤鱼的补充量y＝3时，亲体数量x的估计值为6．

故答案为：6.

16．（2023上·四川成都·高二校考期末）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间的一组数据如下：

若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则 ；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 千亿元

【答案】 1.6； 3.65.

【详解】由数表得：，，

因此，回归直线过点，由，解得，

此时，，当时，即，解得，

所以，预计该年进口总额为千亿元.

故答案为：1.6；3.65

17．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：

(1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.

参考公式：.

【答案】(1)；

(2)经常参加体育运动与性别没有关联.

【详解】（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，

所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，

故恰有2人不经常参加体育运动的概率.

（2）由题设得列联表如下：

故，

所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.

18．（2024上·青海西宁·高三统考期末）家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具、家电、建材、装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来，家居消费一直是居民消费的重要组成部分，对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动，统计了半个月以来天数x与销售额y（万元）的一组数据：.通过分析发现x与y呈线性相关.

(1)求x与y的样本相关系数r（结果保留三位小数）；

(2)求x与y的线性回归方程（，的结果用分数表示）.

参考公式：相关系数，，.

参考数据：，，，.

【答案】(1)0.984；

(2).

【详解】（1）依题意，，，

所以

（2）因为，则，

所以y关于x的线性回归方程为.

19．（2024·全国·高三专题练习）第五代移动通信技术（简称）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市手机用户对网络的满意情况，随机抽取了本市200名手机用户进行了调查，所得情况统计如下：

附：

，其中．

(1)完成上述列联表，并估计本市手机用户对网络满意的概率；

(2)依据小概率值的独立性检验，分析本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下是否有关．

【答案】(1)列联表见解析；

(2)认为本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关．

【详解】（1）解：完成列联表如下：

所以本市手机用户对网络满意的概率约为．

（2）解：零假设为：本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关．

根据列联表中的数据，计算可得，

根据小概率值的独立性检验原则，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为本市手机用户对网络满意与年龄在50岁以下无关．

20．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）能源和环境问题是目前全球性急需解决的问题，虽然近百年人类文明有了前所未有的发展，但对于能源的使用和环境的破坏也造成了严重的后果，发展新能源是时代的要求，是未来生存的要求．新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某市近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：

(1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）；

(2)求关于的线性回归方程，并预测该市2024年新能源汽车购买辆数（精确到个位）．

参考公式：，，

参考数值：．

【答案】(1)，与线性相关性很强；

(2)，约为2.08万辆.

【详解】（1），

，

，

，

，

所以与线性相关性很强.

（2）由（1）知，

，，

所以关于的线性回归方程是，

当时，（万辆）

该市2024年新能源汽车购买辆数约为2.08万辆.

21．（2024·全国·高三专题练习）某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试．将测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，男生的测试成绩不小于60分的有80人．

(1)填写下面的列联表，判断是否有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；

(2)规定成绩不小于60分（百分制）为及格，按及格和不及格用分层随机抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为X，求X的分布列和期望．

【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关

(2)分布列见解析，

【详解】（1）解：成绩小于60分的人数为．

由题意，得列联表如下：

所以，

故有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关．

（2）解：由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120，

所以用分层随机抽样的方法随机抽取的10名学生中不及格的有4人，及格的有6人．

由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，

则，

即，，，

所以随机变量的分布列为

所以，期望为．

22．（2023上·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：

表中，.

(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；

(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；

（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?

附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析

(2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大

【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；

模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.

（2）（i）设，所以，

所以，，

所以关于的经验回归方程为

（ii）由题设可得，

当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，

故该公司2028年的年利润最大.