第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末题型大总结

第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末题型大总结

1．（2024上·河南焦作·高二统考期末）小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度，若用最小二乘法算得蒜苗高度与时间天的线性回归方程为，则根据回归方程预测，从第（    ）天开始蒜苗高度大于.

A．15B．16C．17D．18

【答案】D

【详解】由表中数据得，代入方程，解得，

则回归方程为，

令，解得，因为，所以.

故选：D.

2．（2024上·湖北武汉·高三统考开学考试）网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“”表示2015年，“”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：

根据表中的数据，可以求出，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则的最小值为 .

【答案】8

【详解】由题设，，

所以，即，则，

令，可得，又x为整数，

所以的最小值为8.

故答案为：8

3．（2024下·全国·高二随堂练习）对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：

根据表中的数据，得到销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为，则 ．

【答案】75

【详解】根据样本点处的残差为，得，得，

所以，

，，

由，得

故答案为：75

4．（2024上·江西九江·高二统考期末）2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单：

(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程；

(2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

【答案】(1)

(2)6.74万辆

【详解】（1）

，，

关于的线性回归方程为.

（2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8

（万辆），

估计2023年12月份该公司出售6.74万辆新能源汽车.

5．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；

(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.

附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

【答案】(1)，20次；

(2)分布列见解析，.

【详解】（1）由题设，，则，

所以，所以；

当时，代入，得到，

所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次.

（2）由题意，服从超几何分布，可取0，1，2，

，，，

所以.

6．（2024上·全国·高三专题练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.

（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？

（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.

参考公式：，.

【答案】(1)

(2)（i）5028万元（ii）

【详解】（1）由题意得，，

又，

，

，

，

所以，

故得y关于x的线性回归方程为；

（2）（i）将x=120代入，

估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；

（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，

，

，

，

，

，可得，

又因为，可得，

故.

7．（2024下·全国·高二随堂练习）一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如下：

(1)y与x之间是否具有相关关系?

(2)如果y与x之间具有相关关系，求回归直线方程．

(3)据此估计加工110个零件所用的时间．

【答案】(1)y与x之间具有显著的正相关关系

(2)

(3)128.44min

【详解】（1）根据表中的数据绘制下散点图：

显然，与是正线性相关的；

另：，

，

，，，

于是

，

因此y与x之间具有显著的正相关关系．

（2）设所求的回归直线方程为，则

，

，

即所求的回归直线方程为；

（3）当时，y的估计值．

因此，估计加工110个零件所用的时间为128.44min；

综上，与有正相关关系，回归方程为，价格110个零件大约需要分钟.

1．（2024上·陕西汉中·高三统考期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：

并计算得，．

(1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；

(2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）．

附：相关系数；．

【答案】(1)横截面积为，耗材量为．

(2)0.94

【详解】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值，

样本中10个这种零件的耗材量的平均值，

由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为．

（2）解：由表格中的参考数据和相关系数的公式，可得

，

所以这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数.

2．（2024上·全国·高三期末）党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.

(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；

(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.

附：相关系数

【答案】(1)；具有很强的线性相关性

(2)分布列见解析；

【详解】（1）由统计表数据可得:

所以

所以相关系数 ，

因此，两个变量具有很强的线性相关性.

（2）由题意知，的可能取值为

因为 ，

，

所以 的分布列为：

所以

3．（2024下·全国·高二随堂练习）新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖．

(1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人．

①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数．

②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由．

(2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表．

①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度；

②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因．

参考数据和公式：，相关系数．

【答案】(1)①；②方案二更合理，理由见解析

(2)①，两变量线性相关性很强；②负相关，理由见解析

【详解】（1）①高一学生每天的检测人数为人，

②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强，潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作；

（2）①，

，

，

，，

故，

，两变量线性相关性很强，

②由可知变量和负相关．

可能的原因：随着核酸检测工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短．

4．（2024·全国·高三专题练习）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．

(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：

请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）

(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．

参考数据：，，；

参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．

【答案】(1)与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合

(2)

【详解】（1）由题意，可得：，，

，

,

所以，

所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合．

（2）通过甲高校的考试科目数，则，

设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则：

，

，

，

，

则，

由题意知，，即，解得，

又因为，综上，的取值范围为．

5．（2024·全国·高三专题练习）近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：

并计算得，，，，．

(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；

(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．

附：相关系数，．

【答案】(1)，两个变量线性相关程度较高

(2)该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

【详解】（1）因为，，

所以，，又，，，

所以，

，

，

所以，

故两个变量线性相关程度较高．

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，

则，解得，

所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

1．（2024上·江西上饶·高二校考阶段练习）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1），模型（2），设两模型的决定系数依次为和.若两模型的残差图分别如下，则（     ）

A．<B．=

C．>D．、关系不能确定

【答案】A

【详解】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以<，

故选：A.

2．（多选）（2024·全国·高三专题练习）为研究女儿身高与母亲身高的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据，，下列说法正确的是（    ）

A．落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好

B．样本相关系数越大，变量线性相关程度越强

C．决定系数越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好

D．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【答案】BD

【详解】对于A：回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数来判断的，故A错误；

对于B：因为，且相关系数越接近，变量线性相关程度越强，故B正确；

对于C：决定系数越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C错误；

对于D：决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确.

故选：BD．

3．（多选）（2023下·吉林白山·高二校联考期末）已知解释变量x与响应变量y在散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，其相关系数为r，决定系数为R2，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】BC

【详解】因为越接近于1，线性相关性越强，决定系数为R2越接近于1，拟合效果越好，

对于本题散点图中对应的所有散点都落在一条斜率为非0的直线上，

即线性关系最强，拟合效果最好，所以，，

故A、D错误；B、C正确；

故选：BC.

4．（2024·全国·模拟预测）某试验小组收集了部分父亲和儿子的身高数据，通过测量与回归方程计算得到如下五组儿子身高的观测值与估计值，则该组统计数据的决定系数 ．

【答案】1

【详解】因为决定系数，其值越接近1，说明模型拟合效果越好，误差越小，从表中数据可知没有误差，所以．

5．（2023下·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：

据此，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为；

模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．

对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中，

(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）；

(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．

附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数

【答案】(1)＝21.3－14.4

(2)模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，92.1万元．

【详解】（1）令，则. 由参考数据得

＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，

所以，模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4．

（2）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即，

模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好

当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)．

所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元．

6．（2023下·福建·高二校联考期末）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．

（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数；③参考数据：，．

表中．

【答案】（1）；（2）回归模型②的拟合效果更好，987

【详解】解：（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.

， ，

，模型②的回归方程为.

（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，

即，，模型①的相关指数小于模型②的，

说明回归模型②的拟合效果更好.

2021年时，，

预测旅游人数为（万人）.

1．（2023下·重庆·高二统考期末）对于线性回归直线，样本点的残差为（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】对于线性回归方程，当时，，故残差为.

故选：A.

2．（2023下·吉林长春·高二校考期中）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表：

已知关于的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（ ）万元

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】当时，销售额的预测值为，残差为万元.

故选：A.

3．（2023·全国·高二专题练习）某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系：

与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（    ）

A．B．C．20D．10

【答案】D

【详解】当广告支出5万元时，观测值为，预测值为，则随机误差的效应（残差）为.

故选：D.

4．（2023下·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校考阶段练习）已知回归方程，而试验中的一组数据是，，，则其残差平方和是 .

【答案】/0.38

【详解】∵残差，当时，，当时，，当时，，

∴残差平方和为.

故答案为：0.38

5．（2024·全国·高三专题练习）已知一系列样本点，，，，其中，．响应变量关于的线性回归方程为．对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值，称为残差，即，称为相应于点的残差．

参考公式：，，．

(1)证明：；

(2)证明：，并说明与线性回归模型拟合效果的关系．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析，越大时，线性回归模型拟合效果越好

【详解】（1）因为，

所以，且，，

所以，，

所以；

（2）根据给出的相关系数公式，以及回归直线斜率和截距的最小二乘估计，

可知，记，

所以，

且，

又，

所以，又，

所以，

且当越小时，相关性越强，线性回归模型拟合效果越好，

即越大时，线性回归模型拟合效果越好．

1．（2023下·山西·高二统考期中）某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图：

选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示：

(1)求出与的回归方程；

(2)计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：.

【答案】(1)

(2)498万元

【详解】（1）因为

由表中数据得，

所以，所以，

所以年该材料费用和年利润额的回归方程为；

（2）令，得，

所以（十万），

故下一年应至少投入498万元该材料费用.

2．（2023·全国·模拟预测）某乡镇全面实施乡村振兴，大力发展特色产业——富硒水果．工作人员统计了近8年富硒水果种植面积（单位：百亩）与年销售额（单位：千万元）的数据．经计算得到如下处理后的统计量：，，，，，，，，，其中，．

(1)根据以上数据，从相关系数的角度，判断与哪个适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型（相关系数精确到0.01）．

(2)根据（1）的判断结果及相关数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）．

(3)该乡镇计划年销售额不低于10亿元，请预测种植面积至少为多少亩．

附：相关系数，回归直线的斜率与截距的最小二乘估计分别为，．

参考数据：，．

【答案】(1)适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型

(2)

(3)706亩

【详解】（1）若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则设，则．

设与的相关系数为，则．

由，，得，

则，所以．

若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则．

设，则．

设与的相关系数为，则

．

因为，所以适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型．

（2）．

由，得．

，

所以关于的线性方程为，则关于的回归方程为．

（3）由题意可知．整理，得，

因为，

解得或（舍去），

故种植面积至少为706亩．

3．（2023下·高二课时练习）有一个开房门的游戏，其玩法为:

盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门.

每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.

若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”.

(1)有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表:

若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；

(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.

参考公式：最小二乘估计，.

参考数据：取，，其中，.

【答案】(1)人

(2)

【详解】（1）解：令，设，

由条件知，，

所以，

，从而，

故所求的回归方程为.

所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人.

（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.

设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立.

因为，，

所以，前两轮均失败的概率为.

故游戏要进行三轮的概率为.

4．（2023·全国·高三专题练习）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：

(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

②参考数据：.

【答案】(1)模型的拟合程度更好

(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元

【详解】（1）由题意进行数据分析：

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好

（2）（i）先建立关于的线性回归方程.

由，得，即.

由于

所以关于的线性回归方程为，

所以，则.

（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，

又

所以，解得，

所以预测下一年的研发资金投入量是亿元

5．（2023·全国·高三专题练习）某工厂生产一种产品测得数据如下：

(1)若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

(2)已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？

附：（1）参考数据：，，，.

（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

【答案】(1)

(2)当产品的尺寸约为72时，收益z的预报值最大

【详解】（1）对两边取自然对数得.

令，，则，其中.

根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

，

又，所以，所以y关于x的回归方程为.

（2）由（1）得，所以.

令，则当时，z取得最大值，

此时，

所以当产品的尺寸约为72mm时，收益z的预报值最大.

1．（2024·全国·高三专题练习）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32支球队参加，欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段后，必须要分出胜负.淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第一阶段：共5轮，双方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利.如果第一阶段的5轮还是平局，则进入第二阶段：在该阶段双方每轮各派1名球员，依次踢点球，如果在一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利.

(1)根据题意填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断32支决赛圈球队“闯入8强”与“是欧洲球队”是否有关.

(2)甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队球员每轮踢进点球的概率为，乙队球员每轮踢进点球的概率为，每轮每队是否进球相互独立，在点球大战中，两队前3轮比分为，试求出甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利的概率.

参考公式：.

【答案】(1)列联表见解析，认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关

(2)

【详解】（1）下面为列联表：

零假设支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关，

，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，

即认为“闯入8强”与“是欧洲球队”无关.

（2）记“双方进入第二阶段比赛”为事件，“第二阶段第一轮甲队进球乙队未进球”为事件，则“甲队在第二阶段第一轮结束后获得最终胜利”为事件，有，

要进入第二阶段比赛，即第一阶段五轮为平局，比分可能为，则

，，

故.

2．（2024·全国·高三专题练习）第31届世界大学生夏季运动会，是中国西部第一次举办世界性综合运动会，共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项、269个小项.该届赛事约有来自170个国家和地区的1万余名运动员及官员赴蓉参加，该届赛事于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行.为了了解关注该赛事是否与性别有关，某体育台随机抽取2000名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

(1)在所有女观众中，试估计她们关注该赛事的概率（结果用百分数表示）；

(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注该赛事与性别有关联?

附：，其中.

【答案】(1)

(2)认为是否关注该赛事与性别有关联

【详解】（1）女观众关注该赛事的概率约为：.

（2）零假设为：是否关注该赛事与性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为是否关注该赛事与性别有关联.

3．（2024·全国·模拟预测）某市电视台为了解一档节目收视情况，随机抽取了该市n对夫妻进行调查，根据调查得到每人日均收看该节目的时间绘制成如图所示的频率分布直方图，收视时间不低于40分钟的观众称为“热心观众”，收视时间低于40分钟的观众称为“非热心观众”，已知抽取样本中收视时间低于10分钟的有10人.

(1)求n，p；

(2)根据已知条件完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“热心观众”是否与性别有关.

附：，其中.

【答案】(1)

(2)列联表见解析，认为“热心观众”与性别无关联

【详解】（1）收视时间在分钟组的频率为，

，

又收视时间低于10分钟的有10人，，；

（2）

“热心观众”有人，

则列联表如下图所示：

零假设：“热心观众”与性别无关联.

将列联表数据代入公式计算得：，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明不成立，

因此可认为成立，即认为“热心观众”与性别无关联.

4．（2024上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的120名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：

根据上述信息，解决下列问题：

(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；

(2)从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人，若所选2名观众中女性人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关

(2)分布列见解析；

【详解】（1）由题意得，

故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；

（2）由题意知从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，

由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为，

故随机抽取6人中有4名男性和2名女性，

故X的取值可能为0，1，2，

则，

故X的分布列为：

故

5．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：

(1)若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关；

(2)在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，有关

(2)分布列见解析，期望为

【详解】（1）由题意完成列联表如下：

零假设为：复习教学法与评定结果无关．

则，

∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．

（2）按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，

则成绩在内的人数为3，成绩在内的人数为7，

故X的所有可能取值为0，1，2，3，

，

故X的分布列为

则．

6．（2024上·全国·高三期末）某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示：

(1)依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？

(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件发生的条件下A的强度．

（ｉ）证明：；

（ⅱ）利用抽样的样本数据，估计的值．

附：，其中．

【答案】(1)有关联

(2)（ｉ）证明见解析；（ⅱ）2

【详解】（1）根据列联表中的数据，得

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，

此推断犯错误的概率不大于0.01．

（2），

所以，

故

．

（ⅱ）由样本数据可得，

所以，所以估计的值为2．