第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用

【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了的一组数据如下表所示：

【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）对于一组具有线性相关关系的样本数据，其样本中心为，回归方程为，则相应于样本点的残差为（    ）

【即学即练3】（2023下·青海西宁·高二校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：

【典例1】（2023下·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图

【典例2】（2023·全国·高二专题练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：

【变式1】（2023下·高二课时练习）下列四个图中，两个变量x，y具有线性相关关系的是（    ）

【典例1】（2024上·江西赣州·高二统考期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据：

【典例2】（2024上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在入室盗窃类案件中，出现频率最高的痕迹物证之一就是足迹． 负重行走对足迹步伐特征影响的规律强，而且较为稳定． 正在行走的人在负重的同时，步长变短，步宽变大，步角变大． 因此， 以身高分别为170cm， 175cm， 180cm的人员各 20名作为实验对象，让他们采取双手胸前持重物的负重方式行走，得到实验对象在负重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg状态下相对稳定的步长数据平均值． 并在不同身高情况下，建立足迹步长s(单位：cm)关于负重x(单位：kg)的三个经验回归方程． 根据身高 170cm组数据建立线性回归方程①： ；根据身高 175cm组数据建立线性回归方程②： 根据身高 180cm 组数据建立线性回归方程③： ．

【典例3】（2024上·全国·高三专题练习）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（万元）之间有如下一组数据：

【变式1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）近期，一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注，国家号召中小学要增加学生的室外活动时间．但是进入12月后，天气渐冷，很多学生因气温低而减少了外出活动次数．为了解本班情况，一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数，得到如下数据：

【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）下面给出了根据我国年年水果人均占有量（单位：

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图.

【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）具有线性相关关系的变量的一组数据如下：

【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（    ）

【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某公司一种型号的产品近期销售情况如表：

【典例4】（多选）（2024上·浙江宁波·高三统考期末）某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：

【变式1】（2024上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考期末）已知x与y之间的一组数据：

【变式2】（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知变量x，γ呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示

【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）变量x，y的数据如下所示：

【变式4】（2024上·全国·高三专题练习）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：

【典例1】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示：

【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：

【变式1】（2024上·全国·高三专题练习）如果在一次实验中，测得的五组数值如下表所示，经计算知，y对x的线性回归方程是，预测当时，（    ）

【变式2】（2024上·全国·高三专题练习）牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下：

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知一组样本数据，，，，根据这组数据的

【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ．

【典例3】（2023·全国·高二专题练习）随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示：

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）根据一组样本数据，，，的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（    ）

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）数据如下表：

【变式3】（2023·高二课时练习）高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点处的残差是 .

【典例1】（2024上·全国·高三期末）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表：建立了y与x的两个回归模型：模型①：，

【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知与之间的数据如下表：

【典例3】（2021下·山东青岛·高二统考期中）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：

【变式1】（2022下·宁夏·高二六盘山高级中学校考阶段练习）有一组统计数据和，根据数据建立了如下的两个模型：①，②.通过残差分析发现第①个线性模型比第②个线性模型拟合效果好.若分别是相关指数和残差平方和，则下列结论正确的是 .①＞，②＜，③＜，④＞.

【变式2】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）混凝土的抗压强度x较容易测定，而抗剪强度y不易测定，工程中希望建立一种能由x推算y的经验公式，下表列出了现有的9对数据，分别为，

【变式3】（2023·广东汕头·统考二模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：

1．（2024·四川绵阳·统考二模）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，

2．（2024上·全国·高三专题练习）变量，之间有如下对应数据：

3．（2024上·全国·高三期末）某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则（    ）

4．（2024·全国·高三专题练习）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（    ）

5．（2024下·全国·高二随堂练习）一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小.

6．（2024·全国·高三专题练习）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：

7．（2024上·山东滨州·高三统考期末）某学校一同学研究温差（单位：℃）与本校当天新增感冒人数（单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：

8．（2024上·全国·高三专题练习）已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则（    ）

9．（2024·全国·模拟预测）下列有关回归分析的结论中，正确的有（   ）

10．（2024上·广东揭阳·高三统考期末）2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．

11．（2024上·广东深圳·高三统考期末）某同学收集了变量，的相关数据如下：

12．（2023·高二单元测试）下列关于回归分析的说法正确的是 （填上所有正确说法的序号）

13．（2023上·辽宁沈阳·高二校考期末）某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x(元)与当天销量y(本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表所示

14．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：

15．（2023上·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期中）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次的模拟考试成绩如表所示，

16．（2023·全国·模拟预测）2015—2019年，中国社会消费品零售额占GDP的比重超过4种，2020年后，中国社会消费品零售额占GDP的比重逐年下降．下表为2018—2022年中国社会消费品零售额（单位：万亿元）及其占GDP的比重y（单位：%）的数据，其中2018—2022年对应的年份代码x依次为1~5．

17．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）云南省统计局发布《全省旅游业发展情况（2015-2022年）》报告，其中2015年至2022年游客总人数y（单位：亿人次）的数据如下表：