第37讲 第三章 圆锥曲线的方程
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第37讲 第三章 圆锥曲线的方程
章节验收测评卷
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果.
【详解】抛物线C：的标准方程为，
所以其准线方程为.
故选：C
2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将题目转化为，再解不等式.
【详解】命题等价于，解得.
故选：C.
3．（2024·青海海南·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（ ）
A．14B．12C．16D．18
【答案】A
【分析】将代入，得，将代入，得，利用梯形的面积公式得，再利用抛物线的定义即可求解.
【详解】将代入，得，将代入，得，
所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，
所以，解得，
故由抛物线定义知.
故选：A
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，根据之间的关系可得，即可得结果.
【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，
则，
所以双曲线的渐近线的方程为.
故选：D.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义表示出点到轴距离，结合最值求得参数.
【详解】因为，所以，
设，，是该抛物线的焦点，连接，则，，
所以点到轴的距离
，
当且仅当直线过焦点时，取得最小值，故，所以．
故选：B
6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.
【详解】由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，
所以，解得，
综上所述，.
故选：D.
7．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为双曲线，则其渐近线方程为，
且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，
则直线方程为，联立直线方程，解得，
所以，过点作轴的垂线，交轴于点，
因为，则，
则，且，
即，化简可得，则.
故选：C
8．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，设，，在双曲线上可得，联立渐近线与抛物线方程可得进而可得，代入可得，可求的值.
【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，
由过的焦点，可设，，
又在双曲线上，可得，
由，解得
由过的焦点，
可得，即有，代入，
可得，解得，
则.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知双曲线过点且渐近线为，则（ ）
A．的方程为
B．的离心率为
C．直线经过的一个焦点
D．的两条渐近线的夹角的正切值为
【答案】ACD
【分析】用待定系数法求出双曲线的方程即可判断ABC；利用正切函数二倍角公式可判断D。
【详解】若的焦点在轴，，又，则，
若的焦点在轴，，又，则，舍；故的方程为，故A正确；
所以的离心率为，故B错误；
直线过的右焦点，故C正确；
的两条渐近线夹角的正切值为，故D正确。
故选：ACD
10．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
【答案】ABD
【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解.
【详解】由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，
故选：ABD
11．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.
【详解】根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·四川成都·三模）抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，若，则直线的倾斜角等于 .
【答案】/
【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示，，，求出直线的斜率，即可求解.
【详解】抛物线的准线为：，
设，，则，，
又在第一象限，所以，，所以，
由抛物线定义可得，，
所以，
又，所以，所以，
故直线的斜率，所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
13．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可.
【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示，
设，则，
由，可得，解得.
又，
可得，即，⑤
将①②代入⑤可得，⑥
联立①⑥，即，解得，
将点带入椭圆方程可得，整理得，
由可得，解得，
又，所以，故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可．
【详解】不妨设，则，
所以，
所以，
恒成立，
即恒成立，
当时，恒成立；
当时，不等式等价于恒成立，
设，则恒成立，
又因为函数在上单调递减，所以，
所以，即，
又因为，所以的取值范围为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为．
(1)求直线的方程；
(2)求两点间距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设直线方程为，然后联立方程，结合韦达定理即可得到，从而得到直线方程；
（2）根据题意，由韦达定理可得，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程
则，
经检验符合题意，则直线的方程为．
（2）由（1）可知联立后的方程为，
．
16．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知列式求解即得.
（2）求出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出三角形面积得解.
【详解】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为，
于是，解得：，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，设，，
由消去x得：，则，
所以的面积.
17．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.
(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；
(2)若，求直线的方程；
(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解；
（2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可；
（3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解.
【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为，
因此焦点到渐近线的距离为.
（2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为，
由，得，
由，得，
其中，恒成立，
，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直线的方程为.
（3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得，
四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.
由题，设，直线程为，直线方程，
由第（2）问，易得，
因为，得，因而，
平行线与之间的距离为，
因此，.
令，则，
得在上是严格增函数，
故（等号当且仅当时成立），
所以，四边形面积的取值范围为.
18．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，使得恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）
若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.
综上，存在，使得恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
19．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦点为，知，由结合抛物线的定义表示出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程化简求解离心率即可，
（2）设出椭圆的方程，设直线为代入椭圆方程化简，转化求解的横坐标，然后求解面积之比即可.
【详解】（1）由抛物线的焦点为，知，
所以抛物线方程为，准线方程为，
因为，所以，得，
所以，所以，
所以点的坐标为，点在椭圆上，
所以，，
所以，，
化简整理得，
所以，，
解得（舍去），或，
所以；
（2）由（1）知，则，
所以椭圆方程为，
因为的坐标为，，
所以，
所以直线为，
由，得，
化简整理得，
所以，得，或，
所以，，
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和抛物线的综合问题，考查椭圆离心率的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积关系，第（2）问解题的关键是将转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.