第36讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结
学习目标
第36讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结
题型精讲
题型01圆锥曲线的定义
【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（ ）
A．8或20B．20C．6或22D．22
【典例3】（2024·陕西西安·二模）若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ．
【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知为抛物线的焦点，第一象限的点在抛物线上，且，则（ ）
A．1B．3C．6D．9
【变式3】（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 .
题型02圆锥曲线的标准方程
【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】6．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（ ）
A．B．C．D．
题型03圆锥曲线的焦点三角形问题
【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（23-24高二下·河北张家口·期中）已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点使B．的周长为16
C．的最大面积为12D．的最大值为
【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ．
【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为B．若，则的面积为2
C．的最小值是D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2
【变式2】（多选）（23-24高二上·广东清远·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为B．的最大值为
C．的周长为D．存在点，使得为等边三角形
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ．
题型04椭圆、抛物线中的离心率问题
【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，P是C上支上的一点（不在y轴上），与x轴交于点A，的内切圆在边上的切点为B，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则
题型05直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【典例2】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【典例3】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ．
【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【变式3】（多选）（2024高二·全国·专题练习）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（ ）
A．4B．2C．1D．
题型06圆锥曲线中的中点弦问题
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【典例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.
题型07圆锥曲线中的弦长问题
【典例1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点．过抛物线焦点直线，交抛物线于、四点，，则AB的方程为 ．
【典例3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线过椭圆的右焦点，并与椭圆相交于，两点，截得的弦长为，求直线的方程.
【变式1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．
【变式2】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.
【变式3】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
【典例1】（23-24高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B．
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.
【典例2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知双曲线，点，直线与双曲线C交于不同的两点.
(1)若的重心在直线上，求k的值；
(2)若直线过双曲线C的右焦点F，且直线的斜率之积是，求的面积.
【典例3】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
【变式1】（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；
(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点．
(1)若，求抛物线的准线方程；
(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
题型09圆锥曲线中的定点、定值问题
【典例1】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且．
(1)求双曲线的方程及的面积；
(2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值．
【典例2】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习） 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证 为定值．
【典例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)若是抛物线上一点，过点的直线与拋物线交于两点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．
【变式2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点.
【变式3】（2024·上海·一模）已知抛物线，过点与轴不垂直的直线与交于两点．
(1)求证：是定值（是坐标原点）；
(2)的垂直平分线与轴交于，求的取值范围；
(3)设关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【典例1】（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.
(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若分别在第一和第四象限内，证明：直线与的交点在定直线上.
【典例3】（2024·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点.
(1)若，求的面积；
(2)若直线与交于点，证明：点在定直线上.
【变式1】（23-24高三上·山东聊城·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程.
【变式2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
【变式3】（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
【典例1】（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；
(3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．
【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
【典例3】（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由.
【变式1】（2024·河北·模拟预测）已知焦距为的椭圆：的右焦点为，右顶点为，过作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：是钝角.
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若为线段的中点，求直线的方程；
(3)当直线过点时，求的取值范围．
【变式3】（23-24高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程及其准线方程．
(2)设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足．证明：直线过定点．