第35讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）
学习目标
第35讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。
常考题型：
①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；
④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题
题型精讲
题型01圆锥曲线中的定点问题
【典例1】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆的圆心的轨迹与轴交于两点，位于轴右侧的动点满足，并且直线分别与交于两点．
(1)求轨迹的方程及动点的轨迹方程；
(2)直线是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【典例2】（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
【典例3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为．
(1)求C的方程；
(2)若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点．
【变式1】（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点.
【变式2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.
【变式3】（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，.
(1)求椭圆的方程.
(2)若，求出的值.
(3)试证明：直线过定点.
题型02圆锥曲线中的定值问题
【典例1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知点 为椭圆 上任一点，椭圆的短轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点 ，试判断 是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由.
【典例2】（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值.
【典例3】（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【变式1】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点.
(1)求准线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值.
【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线的实轴长为2，设为的右焦点，为的左顶点，过的直线交于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，的面积为9．
(1)求的方程；
(2)当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为，证明：为定值．
【变式3】（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知椭圆C:的左右焦点为，，M为椭圆C上一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.
题型03圆锥曲线中的定直线问题
【典例1】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.
【典例2】（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；
(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.
【典例3】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且.
(1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上.
【变式1】（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：.
(1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求；
(2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上.
【变式2】（23-24高三上·云南·阶段练习）已知过点的双曲线的渐近线方程为.
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C的实轴端点，过点的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，证明：点P在一条定直线上.
【变式3】（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知椭圆E：经过点，右焦点为．
(1)求E的标准方程；
(2)已知A，B分别为E的上顶点和下顶点，过点且斜率存在的直线l与E交于C、D两点，证明：直线AC与直线BD的交点M在定直线上．