第34讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）
学习目标
第34讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）
知识点一：三角形面积问题
直线方程：
知识点二：焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
知识点三：平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
知识点四：范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.
题型精讲
题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）
【典例1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积.
【典例2】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.
【典例3】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.
(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.
【变式1】（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足.
(1)求椭圆的离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.
【变式2】（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．
【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，左焦点为，过点的直线交椭圆于点（不与顶点重合），交轴于点，且满足，若，求直线的方程.
题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
【典例2】（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．
【变式2】（2024·辽宁丹东·二模）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
(2)求面积的最大值.
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆，直线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的右侧）．
(1)若点是线段的中点，求点的坐标；
(2)过作轴的垂线交椭圆于点，连，求面积的取值范围．
题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
【典例1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．
【典例2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.
【典例3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.
【变式1】（23-24高二上·四川自贡·期末）双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．
【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于两点，求（O为坐标原点）的面积．
【变式3】（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，实轴长为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程.
题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
【典例1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程；
(2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值.
【典例2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．
【典例3】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标；
(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标．
【变式1】（23-24高二上·湖北荆州·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求面积的最小值
【变式2】（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
【变式3】（2024·辽宁·三模）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）
【典例1】（23-24高二下·重庆·期中）已知点，在抛物线上.
(1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离；
(2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积.
【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．
(1)若，求P的坐标；
(2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．
【典例3】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线交于两点，且，求的面积．
【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知过点的直线与抛物线交于两点，且当的斜率为1时，恰为的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)当经过抛物线的焦点时，求（为原点）的面积.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作直线交抛物线于两点，.
(1)求直线的方程；
(2)过点作抛物线的切线，切点分别为，，求的面积.
题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）
【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为.
(1)求；
(2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值.
【典例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）过点作直线与抛物线 相交于两点，且点在的准线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)若的中点为，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的取值范围．
【典例3】（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．
(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
【变式1】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足.
(1)求证：直线过定点；
(2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．
【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线过定点；
(2)当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值．