第33讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）
学习目标
第33讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）
知识点一：弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
知识点二：基本不等式
（当且仅当时等号成立）
题型精讲
题型01求椭圆的弦长
【典例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知椭圆C：（）经过点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．
【典例2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
【变式1】（2024·广东·二模）已知是椭圆的左顶点，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.
【变式2】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点.
(1)求直线的方程
(2)求弦的长度
题型02求椭圆的弦长的最值（范围）
【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
【典例2】（2024·贵州毕节·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【变式1】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．
【变式2】（2023·新疆阿勒泰·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.
题型03根据椭圆的弦长求参数
【典例1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆，、分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．
【典例2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．
【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.
(1)求椭圆方程.
(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.
【变式2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求动点的轨迹的方程；
(3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于､两点，且，求直线的方程．
题型04求双曲线的弦长
【典例1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，
(1)求的方程；
(2)若l过点，求.
【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.
【变式2】（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长
（2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长
题型05根据双曲线的弦长求参数
【典例1】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.
(1)求E的方程；
(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程
【典例3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.
(1)求的离心率；
(2)若直线与交于两点，且，求.
【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点．
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)若，求直线AB的方程．
【变式2】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.
(1)求的方程；
(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.
【变式3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
题型06求抛物线焦点弦
【典例1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长.
【典例2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知抛物线的焦点为F（2，0）.
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的长.
【典例3】（23-24高二上·四川攀枝花·期中）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求.
【变式1】（23-24高二上·陕西延安·期末）已知抛物线：的准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线：交抛物线于、两点，求弦长．
【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；
(2)求．
【变式3】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
题型07求抛物线中非焦点弦
【典例1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，且，求．
【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
(1)若，求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
【变式1】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求.
【变式2】（23-24高二上·四川南充·期末）已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离．
(1)求曲线的方程；
(2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求．
题型08根据抛物线弦长求参数
【典例1】（23-24高二下·上海静安·期末）（1）请写出由拋物线的定义推导抛物线的标准方程的过程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且，求的值．
【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q．
(1)求C的方程；
(2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值．
【典例3】（23-24高二上·黑龙江·期末）(1)若双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，求此双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交曲线于A，B两点，若，求直线的方程．
【变式1】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知点在抛物线上，且点到点的距离与点到轴的距离之差为2.
(1)求的方程；
(2)当点的纵坐标为4时，过点作两条直线分别交于两点（均异于点），且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，，求直线的一般式方程.
【变式2】（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
【变式3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在①和②中选择一个作为条件.
(1)选择条件：________，求曲线C的方程；
(2)设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值.