第32讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）
学习目标
第32讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）
知识点一：曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
知识点二：求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
知识点三：求轨迹方程的方法：
1、定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2、直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，
，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4、代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
5、点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
题型精讲
题型01直接法
【典例1】（23-24高二上·天津北辰·阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（）B．
C．D．（）
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，直线相交于点M，且它们的斜率之积是1．求点M的轨迹E的方程；
【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为
【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ．
【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
题型02相关点法
【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆．
(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
【典例3】（23-24高二下·云南昭通·开学考试）求满足下列条件的曲线方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点；
(2)若动点P在上移动，求点P与点连线的中点的轨迹方程．
【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切，
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程．
题型03定义法
【典例1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（22-23高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.求曲线的方程.
【变式1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【变式2】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．
【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知平面内的一动点满足方程．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)已知点，过的直线交轨迹C于A、B两点，若，求的面积．
题型04参数法
【典例1】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【典例2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）过点的直线与抛物线交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C的焦点F时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q在线段MN上（异于端点），且，求点Q的轨迹方程．
【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
题型05点差法
【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为 .
【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知、，动点满足与所在直线的斜率之积为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【典例3】（23-24高二下·山西朔州·阶段练习）给出双曲线.
（1）求以为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.
【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【变式2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）经过点作直线，交椭圆于，两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.