第30讲 3.3.2抛物线的简单几何性质
学习目标
第30讲 3.3.2抛物线的简单几何性质
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解与掌握抛物线的几何性质。 ②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。 ③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。 | 过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题 |
知识清单
知识点01：抛物线的简单几何性质
| 标准方程 | （） | （） | （） | （） |
| 图形 | ||||
| 范围 | ， | ， | ， | ， |
| 对称轴 | 轴 | 轴 | 轴 | 轴 |
| 焦点坐标 | ||||
| 准线方程 | ||||
| 顶点坐标 | ||||
| 离心率 | ||||
| 通径长 |
知识点02：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点03：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
题型精讲
【即学即练1】（2024·陕西西安·模拟预测）过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【即学即练2】（2024·云南昆明·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则 .
题型01抛物线的简单性质
【典例1】（23-24高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河南新乡·二模）已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型02直线与抛物线的位置关系
【典例1】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（多选）（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（ ）
A．当时，与只有一个交点
B．当时，与只有一个交点
C．当时，与的左支有两个交点
D．当时，与的左支有两个交点
【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
题型03抛物线的弦长
【典例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【典例2】（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ．
【典例3】（23-24高二下·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 .
【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）（1）求圆和圆的公切线
（2）若与抛物线相交，求弦长
题型04抛物线的中点弦和点差法
【典例1】（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 .
【典例3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.
【变式1】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 .
【变式2】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
(1)求p的值；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【变式3】（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
题型05抛物线的焦点弦
【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线．
(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．
(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．
【典例2】（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，且线段的中点为，求．
【典例3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线：与抛物线：恒有两个交点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
【变式1】（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知抛物线的焦点为．
(1)求；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．
【变式2】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
(1)求的方程；
(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|.
【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．
题型06抛物线的定值、定点、定直线问题
【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
(1)求的标准方程
(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．
【典例2】（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
【典例3】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.
(1)求的方程；
(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.
(1)求的方程；
(2)已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【变式3】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点.
(1)若，求直线的斜率；
(2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上.
题型07抛物线的向量问题
【典例1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点
(1)设直线的方程为，求线段的长
(2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程
(3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围
【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）已知抛物线C:的焦点为F，过点的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
(1)证明:直线BD经过点F；
(2)设，求直线l的方程.
【变式2】（2021·江西上饶·三模）已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点距离比到直线的距离都小1．
（1）求曲线C的方程：
（2）设，过点直线与曲线C相交于A、B两点，若恒成立，求实数m的取值范围．
题型08抛物线的三角形问题
【典例1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．
【变式2】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积．
强化训练
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）抛物线的焦点和准线为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
4．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．8
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．7B．5C．D．
8．（2024·陕西·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过且斜率为的直线与交于两点，为的中点，且于点的垂直平分线交轴于点，四边形的面积为，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为6D．的最小值为12
10．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为7
D．
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 .
12．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点．
(1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
(2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
14．（23-24高三上·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．
(1)若l的斜率为2，求的值；
(2)求证：为定值．
1．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ．
4．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．
(1)求证：；
(2)求抛物线的方程；
(3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值．