第29讲 3.3.1抛物线及其标准方程

【即学即练1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ．

【即学即练2】（2024·陕西西安·模拟预测）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ）

【典例1】（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ）

【典例2】（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（    ）

【典例3】（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．

【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ）

【变式2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ）

【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ）

【典例1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ）

【典例2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ）

【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程

【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ）

【变式2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ）

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ．

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ）

【典例2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .

【典例3】（23-24高二上·陕西渭南·期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .

【变式1】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ）

【变式2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ．

【变式3】（2024·上海奉贤·三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．

【典例1】（23-24高二上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是（    ）

【典例2】（2024·陕西咸阳·二模）P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为 ．

【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．

【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．

【变式2】（23-24高二上·陕西延安·期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .

【典例1】（2024·浙江温州·模拟预测）已知抛物线，则焦准距是（    ）

【典例2】（2024·四川·三模）已知抛物线C: ，则C的准线方程为（    ）

【典例3】（2024·宁夏银川·二模）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为 ．

【变式1】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ）

【变式2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ）

【变式3】（2024·河南·三模）抛物线的焦点坐标为 .

【典例1】（2024·福建福州·三模）已知点在抛物线：（）上，为的焦点，则（ ）

【典例2】（23-24高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ）

【典例3】（23-24高二上·浙江·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则（    ）

【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（    ）

【变式3】（23-24高三下·北京东城·阶段练习）已知抛物线，焦点到准线的距离为，若点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 ．

【典例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）

【典例2】（23-24高二上·辽宁本溪·阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）

【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程：

【变式1】（23-24高二上·河南信阳·期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ）

【变式2】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（    ）

【变式3】（多选）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ）

【典例1】（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 .

【典例3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.

【变式1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ）

【变式2】（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；

【变式3】（23-24高二上·河北·期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为

1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ）

2．（2024·河北衡水·模拟预测）抛物线过点，则其准线方程为（    ）

3．（2024·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）．

4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ）

5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）

6．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则（    ）

7．（23-24高二下·北京·期中）已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ）

8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（    ）

9．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ）

10．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（    ）

11．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ．

12．（2016高二·全国·竞赛）的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 .

13．（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

14．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线.

1．（2024高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．

2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为.求的方程.

3．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．