第27讲 3.2.1双曲线及其标准方程

【即学即练1】（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ）

【即学即练2】（23-24高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（    ）

【典例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ）

【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（    ）

【典例3】（多选）（23-24高三上·河北保定·期末）平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（    ）

【变式1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知，，则动点P的轨迹是（　　）

【变式2】（23-24高二上·重庆巫山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ）

【变式3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ）

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ）

【典例2】（2024·山东青岛·一模）已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（    ）

【典例3】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ）

【变式1】（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上.

【变式2】（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ）

【变式3】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ）

【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ）

【典例2】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 .

【典例3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .

【变式1】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ）

【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ）

【变式3】（多选）（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离可能是（    ）

【典例1】（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ）

【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ）

【典例3】（22-23高二上·浙江·期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为 ．

【变式1】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ）

【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ．

【变式3】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 .

【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）

【典例2】（多选）（23-24高二下·河南·开学考试）曲线可以表示（    ）

【典例3】（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ）

【变式1】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知曲线的方程为，则（    ）

【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（    ）

【变式3】（多选）（23-24高二上·河北承德·阶段练习）已知曲线：，则（    ）

【典例1】（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ）

【典例2】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（    ）

【典例3】（2024高二·全国·专题练习）以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为 ．

【变式1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ）

【变式2】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ）

【变式3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 .

【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ）

【典例2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．

【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知是一个动点，与直线垂直，垂足A位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为.求动点的轨迹的方程..

【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ）

【变式2】（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．

【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 .

【典例1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ）

【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则

【变式1】（2024·山西·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上且异于C的顶点，则（    ）

【变式2】（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ．

1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（    ）

2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（  ）

3．（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（    ）

4．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ）

5．（2022高三·全国·专题练习）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上，轴于点，且在线段上，，则（    ）

6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ）

7．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ）

8．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ）

9．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ）

10．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ）

11．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ．

12．（2024高二·全国·专题练习）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ．

13．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，．

14．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）求符合下列条件的曲线的标准方程

1．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ）

2．（2024·陕西商洛·三模）已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（    ）

3．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 .

4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点.