第26讲 3.1.2椭圆的简单几何性质

【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．

【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ）

【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．

【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　）

【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ）

【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 .

【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ）

【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ）

【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ）

【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ）

【典例3】（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ）

【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.

【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程：

【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ）

【典例2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ）

【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．

【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ）

【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ）

【变式3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .

【典例1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.

【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ）

【典例3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .

【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ）

【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ）

【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .

【典例1】（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）

【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ．

【变式1】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ）

【变式2】（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ）

【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ）

【典例2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ）

【典例3】（23-24高二·全国·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ）

【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ）

【变式2】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ）

【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）

【典例1】（23-24高二上·江西吉安·期末）过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）

【典例2】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程

【变式1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　)

【变式2】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为 .

【典例1】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．

【典例2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．

【变式1】（23-24高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足．

【变式2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．

【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ）

【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .

【典例3】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为．

【变式1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ）

【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．

【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线过点且与椭圆相交于两点,若点为弦的中点,则直线的方程为 ．

【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.

【典例2】（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．

【典例3】（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．

【变式1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率为．

【变式2】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．

【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．

【典例1】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．

【典例3】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．

【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.

【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值．

【变式3】（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．

【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.

【典例3】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率．

【变式1】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ）

【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）．

【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.

1．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）

2．（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ）

3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ）

4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ）

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ）

6．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.

7．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）

8．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ）

9．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）

10．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ）

11．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则的最大值为 .

12．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．

13．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.

1．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ）

2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．

3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．