第25讲 3.1.1椭圆及其标准方程

【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ）

【即学即练2】（多选）（23-24高二下·江西·期中）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ）

【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ）

【典例2】（多选）（23-24高二上·广西·阶段练习）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ）

【典例3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ）

【变式1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（    ）

【变式2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）如果动点满足，则点的轨迹是（   ）

【变式3】（多选）（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ）

【典例1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ）

【典例2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ）

【典例3】（23-24高二上·天津·期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .

【变式1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（    ）

【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（    ）

【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知的底边长为，其中点，，其他两边，上的中线之和为，则三角形重心的轨迹方程为 ．

【典例1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ）

【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ）

【典例3】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，设是椭圆上的两个动点，且，则当取得最大值时，的周长为 ．

【变式1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ）

【变式2】（23-24高二上·河南三门峡·阶段练习）已知P是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若右顶点坐标为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（    ）

【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1，1)为椭圆内一点，则的最小值为 ．

【典例1】（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ）

【典例2】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ）

【典例3】（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .

【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，动点满足，若，则的范围为 ．

【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ）

【变式2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为（    ）

【变式3】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ）

【变式4】（23-24高三上·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ．

【典例1】（23-24高二下·北京·期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ）

【典例2】（多选）（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知椭圆：，则（    ）

【典例3】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则 ．

【变式1】（23-24高二上·天津和平·期中）曲线与的关系是（    ）

【变式2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ）

【变式3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）已知曲线．下列结论正确的有（    ）

【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ．

【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 .

【变式1】（2024高二下·上海·专题练习）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是

【变式2】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ．

【变式3】（2024·河北唐山·一模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ．

【典例1】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ）

【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1.

【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ．

【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆” 的条件.

【典例1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ）

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知周长为16的△ABC中，点A（－3，0），B（3，0），则点C的轨迹方程是（　　）

【典例3】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .

【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ）

【变式2】（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ）

【变式3】（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ）

【典例1】（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ）

【典例2】（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（    ）

【典例3】（23-24高二下·上海·阶段练习）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ．

【典例4】（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 .

【变式1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ）

【变式2】（23-24高二上·四川德阳·期末）设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ）

【变式3】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 .

【变式4】（2024·全国·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，在上，是坐标原点，，则的面积为 .

【典例1】（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ）

【典例2】（多选）（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ）

【典例3】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ．

【典例4】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ．

【变式1】（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ）

【变式2】（多选）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ）

【变式3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ．

【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则 .

1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ）

2．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ）

3．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ）

4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ）

5．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ）

6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ）

7．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ）

8．（23-24高三下·山西晋城·开学考试）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（   ）

9．（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ）

10．（23-24高二上·山东·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ）

11．（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则 ．

12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）设为曲线上的任意两点，则的最大值为 .

13．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

14．（23-24高二上·广东惠州·期中）已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过．

1．（2024·安徽池州·二模）已知实数满足，若的最大值为4，则（    ）

2．（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ）

3．（2024高三·全国·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若直线在轴上的截距为2，且，则椭圆的方程为

4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.