第23讲 第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结
学习目标
第23讲 第二章 直线和圆的方程 重点题型章末总结
题型精讲
题型01直线的倾斜角和斜率
【典例1】（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【变式1】（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ．
题型02直线方程
【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求:
(1)边的中线所在直线的方程；
(2)边的中垂线所在的直线的方程.
【典例2】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数.
(1)当时，求直线，之间的距离；
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
【典例3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求边所在直线的方程．
【变式1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线所在直线的方程．
【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
【变式3】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知两点和．
(1)记点关于轴的对称点为，求直线的方程；
(2)求线段的垂直平分线的方程．
题型03两直线的平行与垂直
【典例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【典例3】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（23-24高二下·山东青岛·开学考试）直线和直线垂直，则的值为（ ）
A．1B．0或1C．0或-1D．-1
【变式2】（23-24高二上·山西忻州·期末）已知直线，直线.若，则（ ）
A．4B．-2C．4或-2D．3
【变式3】（23-24高二上·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．
题型04两直线的交点与距离问题
【典例1】（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程．
【变式1】（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
题型05直线中的对称问题
【典例1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 .
【典例3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点
(1)求点关于直线的对称点的坐标；
(2)求直线关于点对称的直线方程.
【变式1】（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线对称的直线方程；
(3)直线关于点对称的直线方程．
【变式3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为.
(1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程.
题型06圆的方程
【典例1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程．
【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·云南昆明·期中）直线与轴，轴分别交于点、，以线段为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
题型07切线和切线长问题
【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（ ）
A．B．C．4D．3
【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ．
【典例3】（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点．
(1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆C的方程为：．
(1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
(2)过点作圆C的切线，求切线方程．
【变式1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ．
【变式2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 .
【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【变式4】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与圆相切，求的方程.
题型08弦长问题
【典例1】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）已知点在圆上，直线被该圆截得的弦长为2，则（ ）
A．B．C．2D．
【典例3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ．
【变式1】（23-24高三上·黑龙江伊春·期末）直线被圆所截弦长等于，则的值为（ ）
A．或B．或C．1或3D．
【变式2】（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆截直线所得的弦长为，则 ．
题型09三角形面积问题
【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 .
【典例2】（23-24高二上·全国·期末）在平面直角坐标系中．已知圆经过三点， 是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．
【典例3】（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆．
(1)过点作圆的切线，求切线的斜率
(2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值
【变式1】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，求的面积.
【变式2】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知直线与圆相切.
(1)求的值及圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.
【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知圆C的圆心在上，半径为，且与直线相切于点P．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆在直线下方，且与直线相交于、两点，求三角形的面积．
【典例1】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．内含
【典例2】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切B．相交C．内切D．没有公共点
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．外离B．相交C．内含D．内切
【变式2】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离
C．内含D．外切
【典例1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆.
(1)求圆的方程；
(2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.
【典例3】（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．
(1)求的面积；
(2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．
【变式1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
【变式3】（2024高二·全国）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长．
【典例1】（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1B．3C．4D．2
【典例2】（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）圆上的点到直线距离的取值范围是 .
【变式1】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，点在圆上，则的最小值为 ．
【典例1】（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【典例3】（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点．
(1)求线段中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程．
【变式1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ．
【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．
【典例2】（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B．
(1)若，求实数m的值；
(2)若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程．
【典例3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围；
(2)以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积.
【变式1】（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点.
(1)求圆M的标准方程；
(2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求.
【变式2】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知过、两点，且圆心M在直线上.
(1)求的标准方程；
(2)若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.
【变式3】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知圆 ，过定点 作与 轴不重合的直线 交曲线 于 两点.
(1)过点作与直线 垂直的直线 交曲线 于、两点，求四边形 面积的最大值；
(2)设曲线 与 轴交于 两点，直线 与直线 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.