第21讲 2.5.1直线与圆的位置关系

【即学即练1】（多选）（23-24高二上·广东肇庆·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ）

【即学即练2】（23-24高二·全国·课后作业）圆截直线所得的弦长等于（    ）

【即学即练3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ）

【即学即练4】（23-24高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（    ）

【典例1】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ）

【典例2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ）

【变式1】（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ）

【变式2】（23-24高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ）

【典例1】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ）

【典例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ）

【典例3】（2024高二·江苏·专题练习）若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 .

【变式1】（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（    ）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，，，则“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是（    ）

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ）

【典例1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ）

【典例2】（23-24高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点．

【变式1】（23-24高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称．

【典例1】（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ．

【典例3】（2024·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．

【典例4】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆.

【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ）

【变式2】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 .

【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程

【变式4】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知圆经过三点.

【典例1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ）

【典例2】（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ）

【典例3】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ）

【典例4】（23-24高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ．

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（　　）

【变式2】（2024·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　）

【变式3】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ．

【变式4】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．

【典例1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ）

【典例2】（2023·陕西宝鸡·一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（    ）

【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）知点，直线及圆.

【变式1】（多选）（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ）

【变式2】（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 .

【变式3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .

【典例1】（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（    ）

【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ）

【典例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ．

【变式1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ）

【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ）

【变式3】（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 .

【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（    ）

【典例2】（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（    ）

【典例3】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .

【典例4】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上．

【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ）

【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ）

【变式3】（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（    ）

【变式4】（2024·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 .

【典例1】（23-24高二下·河南·阶段练习）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ）

【典例2】（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .

【典例3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：与圆：交于两点，且.

【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ）

【变式2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 .

【变式3】（2024·全国·模拟预测）直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则 ；的面积为 ．

【典例1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据：

【典例2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．

【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆，点．

【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.

【变式2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.

【变式3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动：

【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，.

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.

【典例3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．

【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．

【变式3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．

【典例1】（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（    ）

【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ）

【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ）

【变式1】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ）

【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ）

【变式3】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 .

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且.

【典例2】（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且

【典例3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足，

【变式1】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：．

【变式2】（2024高二·全国）､是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.

【变式3】（23-24高二上·北京·期中）已知圆为过点且斜率为的直线.

1．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ）

2．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ）

3．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ）

4．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（    ）

5．（23-24高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ）

6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ）

7．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）直线截圆所得的弦长为，则的值为（    ）

8．（2024·山东菏泽·模拟预测）过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ）

9．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则的面积可能为（    ）

10．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（    ）

11．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 .

12．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .

13．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点.

14．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：

1．（2024·广东·模拟预测）过圆外一点做圆的切线，切点为，若，则的最大值为（    ）

2．（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，求的最小值为 .

3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点.

4．（23-24高二上·广东广州·期中）圆．

1．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）对于半径为的及一个正方形给出如下定义：若上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称是该正方形的“等距圆”。如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（2，4），顶点、在轴上，且点在点的左侧.