第20讲 2.4.2圆的一般方程

【即学即练1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

【即学即练2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 .

【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值．

【变式1】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ）

【典例1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ）

【典例2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 .

【典例3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为.

【变式1】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．

【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ．

【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程．

【典例1】（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ）

【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 .

【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ．

【变式2】（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 .

【典例1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ．

【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）

【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ．

【典例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ）

【典例2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.

【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 .

【变式2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.

【变式3】（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ）

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点.

【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．

【变式2】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ．

【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 .

【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ）

【典例2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 .

【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ．

【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ）

【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ）

【变式3】（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 .

【典例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .

【变式1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 .

【变式2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .

【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．

【典例2】（23-24高二上·安徽·期中）一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：

【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点．

【变式1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆．

【变式2】（23-24高二上·江西抚州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题：

【典例1】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．

【典例2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和.

【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系.

【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．

1．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ）

2．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（    ）

3．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程所表示的圆的圆心坐标为（    ）

5．（23-24高二上·河北保定·期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ）

6．（21-22高二上·湖北孝感·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ）

7．（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ）

8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（    ）

9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ）

10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）

11．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 .

12．（23-24高二上·四川资阳·期中）若实数满足，则的最大值为 ．

13．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：

14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．

1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点满足，则的最大值为（    ）

2．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ）

3．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．

4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．