第18讲 2.3直线的交点坐标与距离公式

【即学即练1】（2024高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.

【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点与点间的距离是，则实数 .

【即学即练3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则

【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ）

【即学即练5】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为 .

【即学即练6】（23-24高一下·新疆哈密·期中）直线关于点A(1,2)的对称直线方程为

【即学即练7】（23-24高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ）

【即学即练8】（23-24高一上·湖南岳阳·期末）直线关于直线对称的直线方程为 .

【典例1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ）

【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 .

【变式1】（23-24高二上·江苏·单元测试）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 )

【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）两直线和的交点为 ．

【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.

【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：

【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否平行：

【变式2】（2024高二·江苏·专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：

【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为

【典例3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是 .

【变式1】（多选）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，集合，且，则（    ）

【变式2】（23-24高二上·上海金山·期末）已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是 .

【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可）

【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ）

【典例2】（多选）（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ）

【变式1】（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围 （    ）

【变式2】（23-24高二上·北京顺义·期末）若直线与直线的交点为，则实数a的值为（    ）

【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线：与：相交于点，则 .

【典例1】（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ）

【典例2】（23-24高二上·上海·假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值．

【典例3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：．

【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 .

【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，．当为何值时，它们不能围成三角形？

【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线，直线，直线．

【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）.

【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．

【典例3】（23-24高一下·全国·课后作业）已知两直线和.

【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）

【变式2】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程．

【变式3】（2024高二·全国·专题练习）求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．

【典例1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ）

【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则两点间的距离为 .

【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为

【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 .

【典例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ）

【典例2】（2034高二·全国）已知，为实数，代数式的最小值是 .

【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .

【变式2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 .

【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ）

【典例2】（多选）（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ）

【典例3】（23-24高二上·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 .

【变式1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ）

【变式2】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 .

【典例1】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）

【典例2】（多选）（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（    ）

【典例3】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知直线；

【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ）

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则实数的值为（    ）

【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .

【典例1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ）

【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．

【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ）

【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ）

【典例1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　）

【典例2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ）

【变式1】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ）

【变式2】（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ）

【典例1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ）

【典例2】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ）

【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ）

【变式2】（23-24高一下·河北·期末）已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ）

【变式3】（23-24高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 .

【典例1】（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ）

【典例2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ．

【典例3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则 ．

【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ）

【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 .

【变式3】（23-24高二上·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 .

【典例1】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ）

【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）与直线关于点对称的直线方程是（    ）

【典例3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 .

【变式1】（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ）

【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是 ．

【变式3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）直线关于定点对称的直线方程是 ．

【典例1】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）

【典例2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ）

【变式2】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）（1）设，，，，求证：对于任意，，.

1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ）

2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（    ）

3．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（　　）

4．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ）

5．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ）

6．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ）

7．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ）

8．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ）

9．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ）

10．（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ）

11．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 .

12．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．

13．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）已知直线l过直线和的交点P.

14．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知直线，且，

1．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（  ）

2．（2024高三·全国·专题练习）若函数存在零点，则实数的取值范围是 .

3．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是．

1．（2024高三·全国·专题练习）设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，．