第17讲 直线的一般式方程
学习目标
第17讲 直线的一般式方程
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解与掌握直线的一般式方程的形式 及条件.会求直线的一般式方程。 ②能准确的将直线的五种形式的方程进 行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。 ③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。 | 通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题. |
知识清单
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
题型精讲
【即学即练1】（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为D．任何一条直线至少要经过两个象限
【即学即练2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知，则边所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 .
【即学即练4】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型01直线的一般式方程及其辨析
【典例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为
D．直线经过第二象限
【典例2】（多选）（23-24高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（ ）
A．则该直线与两坐标轴都相交B．，则该直线与轴平行
C．则该直线为轴所在直线D．，则该直线过原点
【典例3】（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．
【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
【变式2】（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（ ）
A．当时，与轴垂直
B．当时，与轴重合
C．当时，过原点
D．当时，的倾斜角为锐角
【变式3】（多选）（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过坐标原点
B．当时，的倾斜角为锐角
C．当时，和轴平行
D．若直线过点，直线的方程可化为
题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·宁夏银川·期末）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为 .（写成一般式方程）
【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为，且经过点；
(2)斜率为，且在轴上的截距为；
(3)经过两点, ；
(4)在轴上的截距分别为．
【变式1】（23-24高二上·海南·期末）已知直线的方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·广东佛山·期末）斜率为，且经过点的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的中线的直线方程；
(2)求边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
题型03根据直线平行求参数
【典例1】（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（ ）
A．-2B．-2或1C．2D．1
【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例3】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（ ）
A．或B．或
C．D．
【典例4】（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为 .
【变式1】（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（ ）
A．B．
C．或D．
【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线与平行，则 （ ）
A．1B．C．1或D．
【变式3】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．或D．
【变式4】（23-24高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（ ）
A．B．C．或D．
题型04根据直线垂直求参数
【典例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
【典例2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（ ）
A．2B．C．D．
【典例3】（23-24高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
【典例4】（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，直线，且，求m的值．
【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ）
A．或B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（ ）
A．0或-3B．0C．-3D．3
【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（ ）
A．1B．C．1或D．1或2
【变式4】（23-24高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ．
题型05由两条直线平行求方程
【典例1】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（23-24高二上·上海·阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 .
【变式1】（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高二上·上海·期末）已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 .
题型06由两条直线垂直求方程
【典例1】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 .
【变式1】（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 .
【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）过点与直线垂直的直线的方程是 .
题型07直线过定点问题
【典例1】（23-24高二上·北京·期中）已知直线l的方程为，则直线l（ ）
A．恒过点且不垂直x轴
B．恒过点且不垂直y轴
C．恒过点且不垂直x轴
D．恒过点且不垂直y轴
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线恒过第 象限.
【典例3】（23-24高二上·陕西安康·期末）直线恒过定点 ．
【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 .
【变式2】（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 .
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .
题型08直线综合
【典例1】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（ ）
A．12B．C．15D．
【典例2】（23-24高二下·上海·期中）已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
【典例3】（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线的方程为.
(1)证明：不论为何值，直线过定点.
(2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程.
【变式1】（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
【变式3】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）．
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知直线：，：，若，则m的值为（ ）
A．1B．－3C．1或－3D．－1或3
4．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知直线，直线.若，则实数（ ）
A．B．C．D．3
5．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷）已知两条直线和，以下说法正确的是（ ）.
A．B．与重合
C．D．与的夹角为
7．（2024·安徽·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024·四川·模拟预测）已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．
二、多选题
9．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（ ）
A．过定点B．当时，
C．当时，D．当时，的斜率不存在
10．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与，则（ ）
A．若，则两直线垂直B．若两直线平行，则
C．直线恒过定点D．直线在两坐标轴上的截距相等
三、填空题
11．（23-24高二上·北京·阶段练习）若直线与直线垂直，则 .
12．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围为 ．
四、解答题
13．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
(1)求中线的方程；
(2)求经过点且与直线平行的直线方程.
14．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；
（2）直线与直线垂直，求的值.
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023高二上·江苏·专题练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 .
4．（23-24高二下·河北·开学考试）已知圆：，直线：．
(1)证明：直线恒过定点．
(2)设直线交圆于，两点，求弦长的最小值及相应的值．