第14讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断
学习目标
第14讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解两条直线平行的条件及两条直线 垂直的条件。 ②能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直.。 ③能应用两条直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题.。 | 通过本节课的学习，理解两条直线平行与垂直的几何位置与代数运算相结合的条件与意义，能应用两直线的斜率的关系判断两直线的位置关系，并能解决与两条直线位置关系相关联的综合问题. |
知识清单
知识点01：两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
知识点02：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
题型精讲
【即学即练1】（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：．
【即学即练2】（多选）（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
题型01两直线平行关系的判定
【典例1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【典例2】（多选）（23-24高二·全国·课后作业）满足下列条件的直线与一定平行的是（ ）
A．经过点，，经过点，
B．的斜率为1，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．经过点，，经过点，
【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)的倾斜角为60°，经过点，；
(2)平行于y轴，经过点，．
【变式1】（多选）（21-22高二上·浙江丽水·阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率
B．若斜率，则
C．若倾斜角，则
D．若，则倾斜角
【变式2】（多选）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）．
A．的斜率为2，过点，
B．经过点，，平行于轴，且不经过点
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的倾斜角为
【变式3】（23-24高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
题型02两直线垂直关系的判定
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．异面
【典例2】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．平行或重合
【典例3】（23-24高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直：
(1)的倾斜角为，经过，两点；
(2)的斜率为，经过，两点；
(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.
【变式1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直．
(1)的斜率为，经过点，；
(2)经过点，，经过点，；
(3)经过点，，经过点，．
【变式3】（23-24高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1)经过点经过点；
(2)经过点经过点．
题型03已知两直线平行关求参数
【典例1】（2024高三上·广东·学业考试）已知直线，它们的斜率分别记作，若是方程的两个根，则a的值（ ）
A．1B．
C．1或D．无法确定
【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 .
【典例3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点．
(1)若，求的值；
(2)若的倾斜角互余，求的值．
【变式1】（22-23高二上·北京丰台·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ．
【变式2】（23-24高二·全国·假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率，若，则的值为 .
【变式3】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：.
(1)平行；
(2)垂直.
题型04已知两直线垂直关求参数
【典例1】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线与的斜率、是关于k的方程的两根，若，则（ ）
A．2B．－2C．0D．－4
【典例3】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：.
(1)平行；
(2)垂直.
【变式1】（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（ ）
A．6B．－6C．5D．－5
【变式2】（2024高二·全国·专题练习）若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ．
【变式3】（23-24高二上·天津和平·期中）已知直线：与直线：垂直，则的值为 .
题型05直线平行、垂直在几何中的应用
【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 .
【典例2】（2024高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交且垂直C．重合D．相交且不垂直
3．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知直线过，，且，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
4．（23-24高二上·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
5．（23-24高二上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（ ）
①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；
②若，则；
③所有的直线都有倾斜角；
④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（ ）
A．1或B．或
C．或3D．3或
8．（23-24高二上·全国·课后作业）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．斜交C．平行D．重合
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）下列说法中不正确的是（ ）
A．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直
D．过点且斜率为1的直线方程可表示为：
10．（23-24高二上·山东济南·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若斜率，则 B．若，则
C．若倾斜角，则 D．若，则
三、填空题
11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
12．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为 ．
四、解答题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
试判断四边形的形状，并给出证明.
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，直线经过点.若，求a的值.
1．（23-24高二上·天津和平·期末）已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（ ）
A．1B．6C．0或6D．0
2．（2024·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线：上有一点Q，，若，则点Q的坐标为 ．
3．（23-24高一上·甘肃平凉·期末）已知，，．
(1)求点的坐标，满足，；
(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．