第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
学习目标
第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
知识清单
知识点01：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
题型精讲
题型01利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．
(1)点到直线的距离；
(2)求点到平面的距离．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 .
【变式3】（23-24高二上·广东韶关·阶段练习）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求点到直线的距离；
题型02点到平面的距离等体积法
【典例1】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）如图，若正三棱柱的底面边长为，对角线的长为，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
【典例2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，D是的中点，与交于点，且平面.若，则三棱柱的高为 .
【典例3】（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 .
【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点O在线段上且，则点O到平面的距离是 .
【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为 .
【变式3】（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在直三棱柱中，，则点B到平面的距离为 .
题型03点到平面的距离的向量法
【典例1】（广西贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试数学试卷）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【典例2】（23-24高二下·甘肃武威·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【典例3】（2024·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，且直线与平面ABC所成角为60°，求点到平面的距离.
【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为，的中点，点G在棱上，，直线与平面相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：
①；②直线，，相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求点A到平面的距离.
【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，二面角的大小为，点到底面的距离为．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
题型04点到平面的距离的探索性问题
【典例1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 .
【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.
(1)证明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为 ．
【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）正方体中，，点在线段上.
(1)当时，求异面直线与所成角的取值范围；
(2)已知线段的中点是，当时，求三棱锥的体积的最小值.