第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）
学习目标
第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）
1、定义法
在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.
具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：
①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）
②第二垂：在平面中，过点作,垂足为
③第三垂：连接（解答题需证明）
3、射影面积法（）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.
4、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为钝二面角（取负），则；
题型精讲
题型01求二面角（传统法）
【典例1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在三棱柱中，，若，则二面角的余弦值为 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【变式1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的正切值.
【变式2】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上.
(1)求证：平面；
(2)若，点E为的中点，求二面角的余弦值.
【变式3】（2024·四川成都·二模）如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．
(1)证明：；
(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．
题型02利用面积投影法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ．
【典例2】（23-24高一下·河南新乡·阶段练习）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角．(提示：射影面积公式 ）
【典例3】（2024·河南·模拟预测）如图，在长方体中，点分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，且底面为正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
【变式1】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距离；
(2)求平面与平面的夹角．
题型03利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．
(1)求点的轨迹长度；
(2)当点到面的距离为时，求二面角的余弦值．
【典例2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【变式1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，，．
(1)证明：∥平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【变式2】（2024·河北秦皇岛·三模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
(1)证明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
【变式3】（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，是的中点，在线段上，且.
(1)求证：
(2)求平面与平面所夹二面角余弦值.
题型04利用向量法求二面角（最值或范围）
【典例1】（2024·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，.
(1)当时，求证：平面；
(2)设二面角的大小为，求的取值范围.
【典例2】（23-24高二下·浙江金华·期中）在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
(1)若平面，求的值；
(2)若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值．
【典例3】（2024·福建南平·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.
(1)求证：平面；
(2)若，设平面与平面所成的角为，求的最大值.
【变式1】（2024·江苏南通·三模）如图，在直三棱柱中，，．
(1)当时，求证：平面；
(2)设二面角的大小为，求的取值范围．
【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小？
【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小?
题型05已知二面角求参数
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ．
【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则动点的轨迹的长度为 .
【变式1】（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .
【变式2】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 .
【变式3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则线段的长度为 ．
题型06二面角中的探索性问题
【典例1】（23-24高三下·云南·阶段练习）如图，已知四边形为矩形，，，E为的中点，将沿进行翻折，使点D与点P重合，且．
(1)证明：；
(2)设，的延长线交于点N，则线段上是否存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为．
【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，在正四棱锥中，已知平面，点在平面内，点在棱上．
(1)若点是的中点，证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【典例3】（2024·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，.
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值.
【典例4】（2024·河北张家口·三模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面．
(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)若，点E为线段上一点，当二面角为时，求的值．
【变式1】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，D为BC的中点．
(1)求证：；
(2)在棱PA上是否存在点M（不含端点），使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段AM的长度；若不存在，说明理由．
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2024·山东聊城·三模）如图，在正三棱柱中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.
(1)当时，求证：∥平面；
(2)当时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【变式4】（2024·广东广州·模拟预测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积为，平面与平面的交线为.
(1)求四棱锥的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.