第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）
学习目标
第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）
知识点一：直线与平面所成角
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段的长；
②
5、利用向量法求线面角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
题型精讲
题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）
【典例1】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为 ．
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方体中，P为中点，，若平面绕旋转，则与在平面所成角的余弦值最小值为 .
【典例3】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【变式1】（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于 ．
【变式2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成线面角的正弦值.
题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，∥，，，．
(1)证明：；
(2)若为等边三角形，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例3】（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且．
(1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式1】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在长方体中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
(1)求证:平面BCD;
(2)若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F分别是棱PC，PA上的点，满足已知
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
题型03求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（2024·辽宁锦州）在中，，若空间点满足，则的最小值为 ；直线与平面所成角的正切的最大值是 .
【典例2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，是侧面（包括边界）上的动点，且，记与平面所成的角为，则与的重合时 ；的最大值为 .
【典例3】（23-24高二上·福建三明·开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是 ．
【变式1】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）三棱锥的所有棱长均为2，点M在棱BC上，满足，点N在棱BD上运动，设直线MN与平面ABC所成角为，则的最小值为 .
【变式2】（23-24高二下·江苏扬州·期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.记直线与平面所成的角为，则的取值范围为 .
【变式3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是 .
题型04已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
【典例2】（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
(1)求证：图2中的平面平面；
(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知正方体的棱长为1，，，分别在棱，，上，且满足，是的重心，若直线与平面所成角为，则的值为 ．
【变式2】（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
题型05直线与平面所成角中的探索性问题
【典例1】（2024·四川南充·模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.
(1)求证：；
(2)若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2024·河北沧州·三模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2024·浙江宁波·模拟预测）在空间四边形ABCD中，.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由.
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型06易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值
（忽视最后正弦转余弦）
【典例1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·四川雅安·一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．