第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）

【典例1】（23-24高一下·山东烟台·阶段练习）已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

【典例2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，分别是的中点，点P在平面内的射影为与平面所成角的正切值为2，则直线与所成角的余弦值为（    ）

【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，M，N分别为C1D1和CC1的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（    ）

【变式3】（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ．

【变式4】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．

【典例1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．

【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是圆柱下底面圆的圆心，为圆柱的一条母线，为圆柱下底面圆周上一点，，，为等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【变式2】（23-24高三下·四川德阳·期末）正四面体中，、分别是和的中点，则和所成角的大小是 .

【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．

【典例1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .

【典例2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．

【典例3】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（    ）

【变式1】（23-24高二上·山东潍坊·期末）在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 .

【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ．

【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .

【典例1】（23-24高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 .

【典例2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是 .

【变式1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成角，则此时B、D两点之间的距离为 .

【变式2】（23-24高二下·福建厦门·期中）如图，在正四棱锥中，为的中点，. 已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则 .

【变式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= .

【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）直三棱柱中，，则直线与夹角的余弦是（    ）

【典例2】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1∶2，在上且为靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ）

【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）