第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
学习目标
第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量. ②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题. | 通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明. |
知识清单
知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点02：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点03：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
| 线线平行 | ⇔⇔() |
| 线面平行 | ⇔⇔ |
| 面面平行 | ⇔⇔ |
知识点04：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
| 线线垂直 | ⇔⇔ |
| 线面垂直 | ⇔⇔⇔ |
| 面面垂直 | ⇔⇔⇔ |
题型精讲
【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.
【即学即练2】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.
【即学即练3】（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.
(1)求证：；
(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
题型01平面的法向量及其求法
【典例1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ．
【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．
【变式1】（23-24高一上·江苏·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系”，则平面的一个法向量为 .
【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．
【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【典例2】（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在正方体中，点分别在棱上，
(1)证明：;
【变式1】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2024·山东泰安·一模）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点．
(1)求证：；
【典例1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面；
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面.
【变式2】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例1】1．（23-24高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【典例2】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.
【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.
【变式2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在正方体中，M，N分别是的中点．
(1)如果正方体的边长为6，求点到直线距离；
(2)证明：平面平面．
题型05利用向量方法证明线线垂直
【典例1】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点．
(1)证明：∥平面；
(2)证明：
【典例2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点.
(1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的长
(3)求证：.
【典例3】（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.
(1)证明：直线∥平面；
(2)证明：.
【典例4】（2024高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证：
【变式2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．
(1)证明：；
(2)求平面的法向量．
【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，已知是一个正方体，求证：．
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例1】（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．
【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．
(1)当为中点时，证明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此时的长．
【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且.
(1)若点满足，求证：平面；
(2)底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
【变式1】（23-24高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.
(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，．证明：平面．
【变式3】（23-24高二上·全国·单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：
(1)平面平面；
(2)平面.
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例1】（2024陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.
(1)求直线EF到平面的距离；
(2)求证：平面⊥平面.
【典例2】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.
(1)若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；
(2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【典例3】（23-24高二上·山西大同·期中）如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点.
(1)若为线段的中点，证明：平面；
(2)若平面平面，求的值.
【变式1】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(1)求证：平面；
(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式2】（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式3】（23-24高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.
(1)求证：∥平面CEP；
(2)求证：平面平面DEP.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（ ）
A．B．
C．D．与位置关系不确定
3．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4B．C．10D．
4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．
5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．1
6．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．②③
8．（23-24高二上·陕西·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林松原·期中）在正方体中，分别为棱，，的中点，则下列直线与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．若平面，则B．若平面，则
C．若平面，则D．若平面，则
三、填空题
11．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ．
12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ .
四、解答题
13．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·阶段练习）如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.
(1)当为中点时，求证:平面;
(2)当平面时，求的值.
14．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
1．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，与平面交于点，与平面交于点，点分别在线段上运动，则线段的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（2）（4）
3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则
4．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，，
(1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值；
(2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？
