第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示

【即学即练1】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 .

【即学即练2】（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ）

【即学即练3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若向量则，的夹角的余弦值为（    ）

【典例1】（23-24高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ）

【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 .

【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ）

【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ）

【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求.

【典例3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标：

【变式1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ）

【变式2】（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ．

【变式3】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.

【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（    ）

【典例2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知则（    ）

【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知，则 .

【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若，则 ．

【变式2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，.

【典例1】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ）

【典例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，则当 时，取得最小值为 ．

【变式1】（23-24高二上·北京·期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

【变式2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ）

【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ．

【典例1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ）

【典例2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（    ）

【变式1】（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ）

【变式2】（23-24高二上·北京·期中）已知空间向量，则 ．

【变式3】（23-24高二下·甘肃·阶段练习）已知，则 ．

【典例1】（2024高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ）

【典例2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ．

【典例3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .

【典例4】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为 ．

【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）

【变式2】（23-24高二上·陕西西安·期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ）

【变式3】（23-24高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .

【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .

【典例1】（23-24高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ）

【典例2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则最大值为 .

【典例3】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，.

【典例4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .

【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知向量，，若与夹角为，则的值为 ．

【变式2】（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知空间三点，，，设，.

【变式3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知空间向量．

【变式4】（23-24高二上·全国·期末）已知向量，，，，．

【典例1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ）

【典例2】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量是，且，则 .

【典例3】（23-24高二上·山东·期中）已知点，，，向量.

【变式1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知、、，则向量在上的投影向量的模是 ．

【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为

【变式3】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是

【典例1】（多选）（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（    ）

【典例2】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，，，设，，.

【变式1】（23-24高二上·广东·期中）已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ）

【变式2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ）

【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）设空间向量，，若，则 .

【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ）

【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若向量，且，则实数的值为（    ）

【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知向量，，且，则实数m＝ ．

【变式1】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ）

【变式2】（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知空间向量，，若，则（    ）

【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知向量，若，则 .

【典例1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ）

【典例2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间三点，，，设，.

【变式1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．

【变式2】（23-24高二上·广东珠海·阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .

1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，令，，则对应的坐标为（    ）

2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知空间向量，且共线，则（    ）

3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点，，，则与的夹角为（    ）

4．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ）

5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ）

6．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知，，则在上的投影向量为（    ）

7．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ）

8．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ）

9．（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ）

10．（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ）

11．（23-24高二下·上海·期中）已知，，则 .

12．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ．

13．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，．

14．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）（1）已知向量，求；

1．（23-24高二下·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ）

2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ）

3．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．

4．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则在，所构成的平面内的投影向量的长度是 ；的最小值是 .

5．（23-24高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ．

1．（2024高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且．

2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．