第03讲 1.2 空间向量基本定理
学习目标
第03讲 1.2 空间向量基本定理
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义。 ②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量。 ③会用相关的定理解决简单的空间几何问题。 | 1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. |
知识清单
知识点01：空间向量基本定理
1、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量．
对基底正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．
知识点02：空间向量的正交分解
1、单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标．
3、特殊向量的坐标表示
（1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即
（2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即
（3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即
（4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即
（5）当向量平行于平面时，横坐标为，即
（6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即
题型精讲
【即学即练1】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
题型01空间向量基底的概念及辨析
【典例1】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·四川宜宾·阶段练习）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【典例3】（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 .
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 .
题型02用空间基底表示向量
【典例1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
【典例3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
(1)用向量，，表示，；
(2)若，求实数，，的值．
【变式1】（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）
题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系
【典例1】（23-24高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：．
【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【典例3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点．
(1)求的长；
(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直.
已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 .
【变式2】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
【变式3】（23-24高二上·吉林松原·期中）如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，D为的中点．
(1)以为空间的一组基底表示向量，．
(2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角
【典例1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
【典例2】（23-24高二上·四川凉山·期末）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，，
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，求的长．
【典例3】（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．
(1)求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【变式1】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
【变式2】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知，，．
(1)求对角线的长；
(2)求．
【变式3】（23-24高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设.
(1)试用表示向量；
(2)若，求的长.
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二·全国·课后作业）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·江苏南京·期中）平行六面体中，所有棱长均为．则的长为（ ）
A．B．C．D．5
7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A．B．C．1D．
8．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
9．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知是空间的一个单位正交基底，则（ ）
A．B．构成空间的一个基底
C．D．构成空间的一个基底
三、填空题
11．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
12．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为 ．
四、解答题
13．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．
(1)用基底表示向量，，；
(2)证明：平面．
14．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
(1)求的长；
(2)求异面直线和夹角的余弦值．
1．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖南·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·上海·阶段练习）空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 .
4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，；
(3)若，且，求的长.