第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. | 1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. |
知识清单
知识点01：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
知识点02：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
知识点03：空间向量数量积的性质
（1）
（2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
（3）.
题型精讲
【即学即练1】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．
(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
【即学即练2】（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（ ）
A．B．C．2D．4
题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【典例2】（2024高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ．
【典例3】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示.
(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；
(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.
【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ．
【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求．
【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·四川资阳·开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ．
【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ．
【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（ ）
A．32B．28C．21D．16
【变式2】（多选）（23-24高二上·宁夏·期中）正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（ ）
A．B．C．D．2
【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 .
【变式4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 .
题型03利用数量积求夹角
【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【典例2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
【变式1】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【变式2】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ .
【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点.
(1)用向量表示；
(2)求线段的长及向量与的夹角.
题型04空间向量的投影（投影向量）
【典例1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ．
【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 .
【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．
题型05空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．
(1)，，求的最小值；
【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.
(1)用向量表示向量，并求；
【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．
(1)求；
(2)求的长．
【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 .
【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．
【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ．
【变式4】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求：
(1)；
(2)的长.
题型06利用数量积证明垂直问题
【典例1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【典例2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
(1)求线段的长；
(2)求证：．
【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
(1)求的长；
(2)证明：．
【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.
(1)求证：共面；
(2)当为何值时，.
【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.
（1）求AC1的长;
（2）证明:AC1⊥BD．
题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值）
【典例1】（23-24高二下·山西运城·阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（ ）
A．2B．3C．1D．0
【典例2】（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 .
强化训练
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
4．（23-24高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．2B．C．D．
6．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（ ）
A．B．14C．D．2
7．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，若，则为（ ）
A．1B．C．D．
8．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 .
12．（23-24高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则 ．
四、解答题
13．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心．
(1)证明：；
(2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
14．（23-24高二上·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点
(1)求证：，，为共面向量；
(2)求与平面所成角的正弦值.
1．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ．
3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
4．（23-24高三上·云南玉溪·阶段练习）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．
（1）求证：平面；
（2）设与平面所成角为，求的取值范围．