第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题

【典例1】（2024上·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（    ）

【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .

【典例3】（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为

【典例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为棱的中点．

【变式1】（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是 .

【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1．

【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．

【典例2】（2021下·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，，.

【变式1】（2020·山东·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 .

【变式2】（2022下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 .

【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

【典例2】（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．

【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .

【典例1】（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ）

【典例2】（2023下·福建漳州·高一统考期末）如图，正方体中，，点分别为棱上的点（不与端点重合），且.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为

【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台中，底面，，，，若是边的中点，点在侧面内，则直线与直线的夹角的余弦值可能是（    ）

【典例1】（2023·全国·模拟预测）在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（    ）

【典例2】（2023上·上海普陀·高二校考期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 .

【典例3】（2023下·广东广州·高一校联考期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ．

【变式1】（多选）（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（    ）

【变式2】（2023上·上海嘉定·高二校考期中）空间四边形ABCD中，，直线AD与BC所成角大小为60°，分别是的中点，则 ．

【变式3】（2023·上海青浦·统考一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．

【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．

【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则 .

【典例3】（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ．

【变式1】（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 .

【变式2】（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .

【变式3】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）已知等腰直角的斜边在平面内，与所成角为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为 .

【典例1】（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ）

【典例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（    ）

【典例3】（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是 .

【变式1】（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角正切值的最小值是（    ）

【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外

【变式3】（2023·河南·模拟预测）三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知P到平面的距离为7，，.记与平面所成的角为，则的取值范围为 .

【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（    ）

【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ）

【典例3】（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且，若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是 .

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ）

【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为 ．

【典例1】（2023上·上海长宁·高二上海市复旦中学校考期中）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ）

【典例2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（    ）

【典例3】（2023下·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（    ）

【变式1】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ）

【变式2】（2024上·北京房山·高二统考期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ．

【变式3】（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .

【典例1】（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（    ）

【典例2】（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）如图，三角形中，，，为中点，为上的动点，将沿翻折到位置，使点在平面上的射影落在线段上，则当变化时，二面角的余弦值的最小值是 .

【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，则在翻折过程中，二面角的大小为，则的最大值为（    ）

【变式2】（2023上·福建泉州·高二期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 .

【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）

【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .

【典例3】（2023上·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为

【典例4】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳彩虹学校校考阶段练习）已知为等腰直角三角形，是斜边且长度为，是等边三角形，若二面角大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ．

【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（    ）

【变式2】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .

【变式3】（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在矩形ABCD中，，沿AC将折起，当二面角为直二面角时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .

【变式4】（2023下·重庆·高一统考期末）在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ．