第15讲 8.6.3平面与平面垂直（第2课时 平面与平面垂直的性质定理）

【即学即练1】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）

【典例1】（2024·广东·高三学业考试）在三棱锥中，分别为的中点，且.

【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点

【典例3】（2023上·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面；

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；

【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．

【典例1】（2023上·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（      ）

【典例2】（2022上·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.

【典例3】（2023上·江西宜春·高二校考开学考试）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．

【变式1】（多选）（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （    ）

【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.

【变式3】（2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

【典例1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．

【典例2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，平行四边形中，

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：

【变式1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥.

【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．

【变式3】（2024·四川遂宁·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

【典例1】（2023·北京海淀·统考二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（    ）

【典例2】（2023上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．

【典例3】（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且.

【变式1】（2024·全国·高三专题练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给

【变式2】（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是 .

【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知，在与的交线上取线段，且AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且，，求CD的长.

1．（2024上·广东·高三学业考试）已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（    ）

2．（2023下·全国·高一专题练习）已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（    ）

3．（2023·全国·高三专题练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

4．（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知矩形中，，，是的中点，沿直线将△翻折成△，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

5．（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（    ）

6．（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（    ）

7．（2023下·广东梅州·高一统考期末）如图，三棱台中，底面是边长为6的正三角形，且，平面平面，则棱（    ）

8．（2023下·高一课时练习）如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面平面DAC，则二面角的余弦值为（    ）

9．（2023下·全国·高一专题练习）关于三个不同平面、、与直线，下面命题中的真命题是(    )

10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（    ）

11．（2023下·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于 ．

12．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），给出以下结论：

13．（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

14．（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.

1．（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）如图，平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（    ）

2．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（    ）

3．（2023上·全国·高三专题练习）如图，P、Q是直线上的点，平面，五面体的各顶点均在球O球面上，四边形为边长为2的正方形，且，均为正三角形，则当球O半径取得最小值时，五面体的体积为（    ）

4．（2023·四川雅安·统考一模）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

5．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图②.