第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）
学习目标
第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。 ②掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 | 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用. |
知识点1：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
题型精讲
【即学即练1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在正方体中，二面角平面角的正切值为 .
【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ．
题型01 判断面面垂直
【典例1】（2023上·山西运城·高三校考阶段练习）如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【典例3】（2023·高三课时练习）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号）
①平面PAD⊥平面PAB； ②平面PAD⊥平面PCD；
③平面PBC⊥平面PAB； ④平面PBC⊥平面PCD．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
【变式2】（2023下·云南曲靖·高一校考期中）在四棱锥PABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
题型02 平面与平面的垂直判定
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.
【典例2】（2024上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.
(1)证明：平面平面；
【典例3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）在四面体中，分别是和的中点.
(1)证明：平面平面；
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．
(1)求证：平面平面．
【变式2】（2024上·陕西宝鸡·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
【变式3】（2024上·广东东莞·高三统考期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．
(1)证明：平面平面；
题型03补全面面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可）
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例3】（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【变式3】（2023上·北京·高二北理工附中校考阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.
题型04求二面角的大小
【典例1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）在四面体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024上·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）正四棱锥中，底面边长为，二面角为，则该四棱锥的高等于 ．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，平面和平面ABCD所成二面角的大小是 .
【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求二面角的大小．
【变式3】（2024·全国·高二专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：
(1)二面角的平面角的度数；
(2)二面角的平面角的度数；
(3)二面角的平面角的度数．
题型05求二面角最值（范围）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
【典例2】（2023上·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）如图1，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为.
(1)如图2，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度.
(2)如图3，当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
【变式1】（2024上·湖北·高二期末）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，平面平面，三角形不是钝角三角形且面积为，点在面上的射影为点.
(1)证明：平面的充要条件是；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．
【变式2】（2023·四川乐山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点在棱上，平面.
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
题型06根据二面角求参数
【典例1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为 .
【典例3】（2024·上海·高二专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 .
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上是否存在一点，使得二面角等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023下·天津河西·高一统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，二面角为，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 .
【变式4】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，
，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.
(1)证明：.
(2)若二面角的大小为，求的长.
强化训练
一、单选题
1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．平面平面D．直线与直线所成的角为
3．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·全国·高二期末）如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川成都·成都七中校考一模）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是（ ）
①平面；②平面平面；③．
A．B．C．D．
6．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
7．（2023上·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023下·河北邢台·高一统考期末）在平行四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023上·福建福州·高二校考阶段练习）已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
10．（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）如图，正方形 的边长为 2 ，现将正方形沿其对角线进行折叠，使其成为一个空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A．两点间的距离满足
B．
C．对应三棱锥 的体积的最大值为
D．当二面角 为时，
三、填空题
11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知矩形，，，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．异面直线和所成角的余弦值为 ．
12．（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 .
四、解答题
13．（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
14．（2023上·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
1．（2023上·广东汕头·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则下列选项中，不正确的是（ ）
A．平面平面
B．二面角的余弦值为
C．与平面所成角为
D．三棱锥外接球的表面积为
2．（2023上·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·上海·高二格致中学校考阶段练习）已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ．
4．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.
(1)证明：；
(2)设直线到平面的距离为，求二面角的大小.
5．（2023上·广东江门·高二江门市新会第一中学校考期中）如图，棱长为3的正四面体中，D，M分别为AB，PC的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若过点A，M的平面与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ与平面ABC夹角的正弦值.