第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时）
学习目标
第13讲 8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时）
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①掌握直线与平面垂直的性质定理。 ②会用性质定理证明相关问题。 | 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题 |
知识清单
知识点01：直线与平面垂直的性质定理(定义)
（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
（2）符合语言：，.
（3）图形语言：
（4）定理应用：线面垂直线线垂直.
知识点02：直线与平面垂直的性质定理
（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符合语言：，
（3）图形语言：
（4）定理应用：垂直与平行的转换
①线面垂直线线平行
②作平行线
知识点03：点面距、线面距、面面距
（1）点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
①图形语言：
如图，线段的长度就是点到平面的距离.
②点面距的范围：.
③常用方法：等体积法
题型精讲
【即学即练1】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：
(1)平面；
(2)．
【即学即练2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：.
【即学即练3】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
题型01 直线与平面垂直的定义转化为性质
【典例1】（2024下·高一课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：
【典例2】（2024·广东·高三学业考试）在三棱柱中，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若侧面为菱形，求证：.
【典例3】（2024上·广东·高三统考学业考试）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，证明：.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．证明：
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求证：．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．
(1)求证；
题型02 直线与平面垂直的性质定理的运用
【典例1】（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．
求证：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【变式3】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
题型03 点到平面的距离
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024上·全国·高三阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 .
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点A到平面的距离.
【变式1】（2024·上海·高二专题练习）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为 .
【变式3】（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为 .
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
题型04 线面距，面面距
【典例1】（2023上·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（ ）
A．B．aC．D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．
(1)证明：面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是 ．
【典例4】（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面间的距离.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.
【变式2】（2023上·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,求到平面的距离.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.
(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面与平面的距离.
【变式4】（2023下·全国·高一专题练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
题型05 距离最值问题
【典例1】（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.
【变式1】（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为 ．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·海南海口·高一海南中学校考期末）已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．（2023下·高一课时练习）若直线平面，直线，则（ ）
A．B．可能和平行
C．和相交D．和不相交
3．（2023下·江苏盐城·高一校联考期中）在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
5．（2023上·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知直四棱柱，，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥的侧棱上分别有E，F，G，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为，则侧棱与底面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·湖北宜昌·高二校联考阶段练习）在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
10．（2024上·江西宜春·高三江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．过A，，三点的正方体的截面面积为9
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D．若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题
11．（2024上·天津宁河·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ．
12．（2024上·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为 ．
13．（2024上·广东·高二学业考试）如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.
(1)求四棱锥的体积;
(2)如果E是的中点，求证: 平面;
(3)是否不论点E在侧棱的任何位置，都有?证明你的结论.
14．（2024·全国·高三专题练习）如图， 已知正方体， 点为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：.
(3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说明理由.
1．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）是平面内的一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为.若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）如图，在三棱台中，平面平面，且，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．