第12讲 8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）
学习目标
第12讲 8.6.2直线与平面垂直的判定定理（第1课时）
| 课程标准 | 学习目标 |
| ①了解直线与平面垂直的定义。 ②了解直线与平面所成角的概念.。 ③.掌握直线与平面垂直的判定定理。 ④会用定理判定线面垂直。 | 本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题 |
知识清单
知识点01：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点02：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
知识点03：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
题型精讲
【即学即练1】（2024上·全国·高三期末）如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【即学即练2】（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，与平面所成角的大小为 .
题型01判断线面垂直
【典例1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要
【典例2】（2024上·上海·高二上海市建平中学校考期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（ ）.
A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直
B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直
C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直
D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直
【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（ ）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
【变式2】（2023下·北京·高二统考学业考试）已知直线，和平面，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．是平面的斜线
题型02 证明线面垂直
【典例1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【典例2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【典例3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱，
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
【变式1】（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【变式2】（2024上·全国·高三期末）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．证明：平面；
题型03 补全线面垂直的条件
【典例1】（2023上·高二课时练习）已知直线l，a，b，平面，若要得到结论，则需要在条件，，⊥，⊥中另外添加的一个条件是 .
【典例2】（2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF= 时，CF⊥平面.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图：在三棱柱中，已知面，，当底面满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．
【变式1】（2023下·全国·高一专题练习）已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件）
【变式2】（2023下·全国·高一专题练习），，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？
题型03 直线与平面所成的角
【典例1】（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023上·北京·高二北京市八一中学校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．
【典例4】（2023下·天津和平·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
【变式1】（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）如下图所示，在平行六面体中，底面为矩形，侧棱与、均成60°角，则侧棱与底面所成的角为 ．
【变式3】（2024·上海·高二专题练习）如图，在平面内，是的斜线，若，则与平面所成角是 ．
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.
题型04 直线与平面所成角的最值（范围）
【典例1】（2024上·河南漯河·高二漯河高中校考阶段练习）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（ ）
A．2B．1C．D．
【典例3】（2024上·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面，且.
(1)证明：；
(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.
题型05 根据线面角求参数
【典例1】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．
(1)平面平面，证明：．
(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
【变式1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ．
【变式2】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点．
(1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点；
(2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长．
【变式3】（2024·广东·高三学业考试）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，E，F，M分别为边PD，PB，PC的中点，N为BF的中点．
(1)证明：平面AEF；
(2)若，，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求三棱锥的体积．
题型06 点到平面的距离
【典例1】（2024·广东佛山·统考一模）如图，直三棱柱中，.过点的平面和平面的交线记作.
(1)证明：；
(2)求顶点到直线的距离.
【典例2】（2023上·上海·高二校考期末）为直角梯形，，，，平面，，
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离.
【变式1】（2023上·山东潍坊·高二统考期中）在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．2
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离；
强化训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不确定
2．（2022·高一课时练习）在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2019下·江苏常州·高一校联考期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019下·江苏·高一校联考期末）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020下·高一课时练习）如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
6．（2022下·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·四川宜宾·高二四川省兴文第二中学校校考阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023下·高一课时练习）设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（ ）
A．平面B．与平面所成角为
C．面D．点到面的距离为2
三、填空题
11．（2023上·四川达州·高二校考阶段练习）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 .
12．（2023上·上海普陀·高二校考期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ．
四、解答题
13．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
14．（2021上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，四棱柱的底面四边形ABCD是菱形，且，当的值为多少时，平面？
1．（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
2．（2023下·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.
(1)若，求三棱柱的体积；
(2)证明：平面；
(3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论.
3．（2023下·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．
(1)证明：面；
(2)若满足面，求的值．
4．（2021上·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．